3.2.1. Ejercicios 1. Hallen la solución general: $$ \begin{array}{ll} ext { i) }\left(1+y^{2} ight) d x+\left(1+x^{2} ight) d y=0 & ext { ii) }\left(1+y^{2} ight) d x+x y d y=0 \ \begin{array}{ll} ext { iii) }\left(x y^{2}+y^{2} ight) y^{\prime}+\left(x^{2}-y x^{2} ight)=0 & ext { iv) } y \ln y d x+x d y=0 \ ext { v) }\left(x y^{2}+x ight) d x+\left(y x^{2}+y ight) d y=0 & ext { vi) }\left(1+e^{x} ight) y y^{\prime}=e^{y}\end{array}\end{array} $$.

Question

3.2.1. Ejercicios 1. Hallen la solución general: $$ \begin{array}{ll}	ext { i) }\left(1+y^{2}ight) d x+\left(1+x^{2}ight) d y=0 & 	ext { ii) }\left(1+y^{2}ight) d x+x y d y=0 \ \begin{array}{ll}	ext { iii) }\left(x y^{2}+y^{2}ight) y^{\prime}+\left(x^{2}-y x^{2}ight)=0 & 	ext { iv) } y \ln y d x+x d y=0 \ 	ext { v) }\left(x y^{2}+xight) d x+\left(y x^{2}+yight) d y=0 & 	ext { vi) }\left(1+e^{x}ight) y y^{\prime}=e^{y}\end{array}\end{array} $$.

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Para la ecuación $$ (1+y^{2}) dx + (1+x^{2}) dy = 0 $$, podemos reescribirla como:

$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}
$$

Esta es una ecuación separable. Separando las variables, tenemos:

$$
\frac{dy}{1+y^{2}} = -\frac{dx}{1+x^{2}}
$$

Integrando ambos lados:

$$
\int \frac{dy}{1+y^{2}} = -\int \frac{dx}{1+x^{2}}
$$

Esto nos da:

$$
\tan^{-1}(y) = -\tan^{-1}(x) + C
$$

Por lo tanto, la solución general es:

$$
\tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(x) = C
$$
Para la ecuación $$ (1+y^{2}) dx + xy dy = 0 $$, reescribimos como:

$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y^{2}}{xy}
$$

Separando las variables:

$$
\frac{dy}{1+y^{2}} = -\frac{dx}{x}
$$

Integrando ambos lados:

$$
\int \frac{dy}{1+y^{2}} = -\int \frac{dx}{x}
$$

Esto nos da:

$$
\tan^{-1}(y) = -\ln|x| + C
$$

Por lo tanto, la solución general es:

$$
\tan^{-1}(y) + \ln|x| = C
$$
Para la ecuación $$ (xy^{2}+y^{2}) y' + (x^{2}-yx^{2}) = 0 $$, reescribimos como:

$$
y' = -\frac{x^{2}-yx^{2}}{xy^{2}+y^{2}}
$$

Separando las variables:

$$
\frac{dy}{y^{2}(1+x)} = -\frac{dx}{x}
$$

Integrando ambos lados:

$$
-\frac{1}{y} = -\ln|x| + C
$$

Por lo tanto, la solución general es:

$$
\frac{1}{y} = \ln|x| + C
$$
Para la ecuación $$ y \ln y dx + x dy = 0 $$, reescribimos como:

$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{y \ln y}{x}
$$

Separando las variables:

$$
\frac{dy}{y \ln y} = -\frac{dx}{x}
$$

Integrando ambos lados:

$$
\int \frac{dy}{y \ln y} = -\int \frac{dx}{x}
$$

Esto nos da:

$$
\ln(\ln y) = -\ln|x| + C
$$

Por lo tanto, la solución general es:

$$
\ln(\ln y) + \ln|x| = C
$$
Para la ecuación $$ (xy^{2}+x) dx + (yx^{2}+y) dy = 0 $$, reescribimos como:

$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{xy^{2}+x}{yx^{2}+y}
$$

Separando las variables:

$$
\frac{dy}{y} = -\frac{(x+1)dx}{(x^{2}+1)}
$$

Integrando ambos lados:

$$
\ln|y| = -\ln|x^{2}+1| + C
$$

Por lo tanto, la solución general es:

$$
\ln|y| + \ln|x^{2}+1| = C
$$
Las soluciones generales para los ejercicios son: 1. **Ejercicio i**: $$ \tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(x) = C $$ 2. **Ejercicio ii**: $$ \tan^{-1}(y) + \ln|x| = C $$ 3. **Ejercicio iii**: $$ \frac{1}{y} = \ln|x| + C $$ 4. **Ejercicio iv**: $$ \ln(\ln y) + \ln|x| = C $$ 5. **Ejercicio v**: $$ \ln|y| + \ln|x^{2}+1| = C $$ 6. **Ejercicio vi**: $$ \ln|y| + \ln|1+e^{x}| = C $$

3.2.1. Ejercicios

Hallen la solución general:
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