- 3. (2p) Gasitl extremele locale pentru functin \( f:(0, \infty) \times(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}_{\text {, defnith }} \) prin \[ f(x, y)=4 x y+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+5 \] Evaluati, dircet gis cu formula lui Green, integrala

Pentru a găsi extremele locale ale funcției \( f(x, y) = 4xy + \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + 5 \) definită pe domeniul \( (0, \infty) \times (0, \infty) \), urmăm pașii de mai jos: ### 1. Calculul derivatelor parțiale Calculăm derivatele parțiale ale funcției \( f \) în raport cu \( x \) și \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 4y - \frac{1}{x^2} \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 4x - \frac{2}{y^2} \] ### 2. Determinarea punctelor critice Setăm derivatele parțiale egale cu zero pentru a găsi punctele critice: \[ 4y - \frac{1}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{4x^2} \] \[ 4x - \frac{2}{y^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 = \frac{2}{4x} = \frac{1}{2x} \] Substituim \( y = \frac{1}{4x^2} \) în a doua ecuație: \[ \left( \frac{1}{4x^2} \right)^2 = \frac{1}{2x} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{16x^4} = \frac{1}{2x} \quad \Rightarrow \quad 16x^4 = 2x \quad \Rightarrow \quad 16x^3 = 2 \quad \Rightarrow \quad x^3 = \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \] Apoi, calculăm \( y \): \[ y = \frac{1}{4 \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1 \] Deci, punctul critic este \( \left( \frac{1}{2}, 1 \right) \). ### 3. Verificarea naturii extremei folosind matricea Hessiană Calculăm derivatele de ordinul al doilea: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{2}{x^3} \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{4}{y^3} \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 4 \] Matricea Hessiană este: \[ H = \begin{pmatrix} \frac{2}{x^3} & 4 \\ 4 & \frac{4}{y^3} \end{pmatrix} \] Calculăm determinantul Hessianului la punctul critic \( \left( \frac{1}{2}, 1 \right) \): \[ \det(H) = \left( \frac{2}{\left( \frac{1}{2} \right)^3} \right) \left( \frac{4}{1^3} \right) - (4)^2 = (16) \cdot 4 - 16 = 64 - 16 = 48 > 0 \] De asemenea, \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 16 > 0 \), ceea ce indică faptul că punctul critic este un minim local. ### **Concluzie** Funcția \( f(x, y) = 4xy + \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + 5 \) are un **minim local** în punctul \( \left( \frac{1}{2}, 1 \right) \).