EsERCIzIo 12.2 Stabilire se i punti \( A, B, C \in \mathbb{A}^{3}(\mathbb{R}) \) sono allineati. In caso affermativo, leterminare la retta che passa per essi, in caso negativo il piano che li contiene: ( \( A=(3,0,-2) \quad B=(4,-1,-4) \quad C=(2,1,0) \)

Per verificare se i punti \( A \), \( B \) e \( C \) sono allineati, possiamo calcolare i vettori \( \overrightarrow{AB} \) e \( \overrightarrow{AC} \). Se i vettori sono proporzionali, allora i punti sono allineati. Calcoliamo i vettori: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 3, -1 - 0, -4 + 2) = (1, -1, -2) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 3, 1 - 0, 0 + 2) = (-1, 1, 2) \] Ora, controlliamo se esiste un parametro \( k \) tale che \( \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \): \[ (-1, 1, 2) = k(1, -1, -2) \] Dalla prima componente \( -1 = k \), dalla seconda \( 1 = -k \), e dalla terza \( 2 = -2k \). Non troviamo un valore \( k \) che soddisfi tutte e tre le equazioni contemporaneamente, quindi i punti non sono allineati. Ora, per determinare il piano che contiene i tre punti, possiamo utilizzare i vettori \( \overrightarrow{AB} \) e \( \overrightarrow{AC} \) per calcolare il vettore normale al piano. Calcoliamo il prodotto vettoriale: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i}((-1)(2) - (-1)(-2)) - \hat{j}((1)(2) - (-1)(-1)) + \hat{k}((1)(1) - (-1)(-1)) \] \[ = \hat{i}(-2 - 2) - \hat{j}(2 - 1) + \hat{k}(1 - 1) \] \[ = \hat{i}(-4) - \hat{j}(1) + \hat{k}(0) = (-4, -1, 0) \] Ora, usando il punto \( A(3, 0, -2) \) e il vettore normale \( \overrightarrow{n} \), la forma implicita del piano è: \[ -4(x - 3) - 1(y - 0) + 0(z + 2) = 0 \] \[ -4x + 12 - y = 0 \implies 4x + y = 12 \] Quindi, l'equazione del piano che contiene i punti \( A \), \( B \) e \( C \) è \( 4x + y = 12 \).