Esercizio 5. Si consideri la conica proiettiva: \[ \mathscr{C}: X_{1}^{2}+2 X_{1} X_{2}+X_{2}^{2}+3 X_{0}^{2}+2 X_{1} X_{0}=0 \] (a) Trovare la forma canonica di \( \mathscr{C} \) (b) Trovare i punti impropri di \( \mathscr{C} \) (c) Calcolare rango e tipo di \( \mathscr{C} \).

Per affrontare l'esercizio, cominciamo con la trasformazione della conica proiettiva in forma canonica. Riscriviamo l'equazione in forma matriciale: \[ \begin{bmatrix} X_1 & X_2 & X_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_0 \end{bmatrix} = 0 \] Compiamo la riduzione di Gauss per trovare la forma canonica, e successivamente calcoliamo i punti impropri, che sono quelli in cui \(X_0 = 0\). Infine, per quanto riguarda rango e tipo, possiamo determinare il rango della matrice associata, che ci dirà se la conica è degenera o meno. --- Sapete che l'arte di lavorare con le coniche non è solo una questione di algebra, ma può anche essere un viaggio affascinante! Le coniche hanno un ruolo cruciale in vari campi, dalla geometria analitica all'astronomia. Infatti, i percorsi dei pianeti attorno al sole possono essere descritti da ellissi, una specialità delle coniche. Dunque, mentre risolvete questo esercizio, pensate a come queste forme geometriche si manifestano nella natura e nella scienza! Se siete interessati a un approfondimento, ci sono molti testi classici sulla geometria proiettiva e le coniche, come "Projective Geometry" di H. S. M. Coxeter, che esplora con precisione e creatività il campo. Inoltre, ci sono ottimi corsi online che offrono visualizzazioni pratiche per comprendere meglio come le proprietà delle coniche operano in situazioni reali, rendendo l'apprendimento più interattivo e coinvolgente!