4.87 Kari planter et tre som er 50 cm høyt. Etter \( t \) år er høyden \( h(t) \) \( m \) av treet gitt ved \( \quad h(t)=-0,0025 t^{3}+0,075 t^{2}+0,50, D_{h}=[0,15] \) a. Når vokser treet raskest? b. Hvor høyt er treet da? c. Hvor raskt vokser treet da?

For å finne ut når treet vokser raskest, må vi først finne den deriverte av høydefunksjonen \( h(t) \). Den deriverte \( h'(t) \) vil representere veksthastigheten til treet. Vi setter \( h'(t) = 0 \) og løser for \( t \) for å finne tidspunktet for maksimal vekst. Når vi deriverer \( h(t) \) får vi \( h'(t) = -0,0075t^2 + 0,15t \). Setter vi dette lik null, får vi \( -0,0075t^2 + 0,15t = 0 \). Det kan faktoriseres til \( t(0,15-0,0075t) = 0 \), som gir oss \( t = 0 \) eller \( t = 20 \) som løsninger, med \( t = 20 \) som målrettet år for optimal vekst. Forhåpentlig er treets høyde med \( t = 20 \) år lettlurt. Setter vi inn \( t = 20 \) i \( h(t) \), så finner vi \( h(20) = -0,0025(20)^3 + 0,075(20)^2 + 0,5 \), som gir oss en totalhøyde på omtrent 1,27 meter. Til slutt, for å finne hvor raskt treet vokser ved \( t = 20 \), setter vi inn denne verdien i \( h'(t) \). \( h'(20) = -0,0075(20)^2 + 0,15(20) = 0,75 \) meter per år. Hvem kan si nei til en slik vekst!