\( \int ( e ^ { x } - 8 ) ^ { 5 } e ^ { x } d x = \)
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To solve the integral \( \int (e^x - 8)^5 e^x \, dx \), let’s use integration by substitution. Let \( u = e^x - 8 \). Then, the differential \( du = e^x \, dx \). This transforms the integral into: \[ \int u^5 \, du \] Now, integrating \( u^5 \) gives us: \[ \frac{u^6}{6} + C \] Substituting back for \( u \): \[ \frac{(e^x - 8)^6}{6} + C \] So, the final answer is: \[ \int (e^x - 8)^5 e^x \, dx = \frac{(e^x - 8)^6}{6} + C \]