883 Determina perimetro e area del triangolo \( A B C \) di vertici \( A(-1,2), B(2,-1), C(2,4) \). \( \qquad \) Perimetro \( =3 \sqrt{2}+\sqrt{13}+5 \); Area \( \left.=\frac{15}{2}\right] \)

Per calcolare il perimetro del triangolo \( ABC \), si devono prima determinare le lunghezze dei lati utilizzando la formula della distanza tra due punti, \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \). I lati \( AB \), \( BC \) e \( CA \) sono: - \( AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} \) - \( BC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{0 + 5^2} = 5 \) - \( CA = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \) Quindi, il perimetro \( P = AB + BC + CA = 3\sqrt{2} + 5 + \sqrt{13} \). Per calcolare l'area del triangolo, si può utilizzare la formula \( \text{Area} = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | \): \[ \text{Area} = \frac{1}{2} | -1(-1 - 4) + 2(4 - 2) + 2(2 - (-1)) | = \frac{1}{2} | -1(-5) + 2(2) + 2(3) | = \frac{1}{2} | 5 + 4 + 6 | = \frac{1}{2} \cdot 15 = \frac{15}{2} \] Così, il perimetro del triangolo è \( P = 3\sqrt{2} + \sqrt{13} + 5 \) e l'area è \( \frac{15}{2} \).