43. Halle el producto de las soluciones de la ecuación: \[ \sqrt{2-3 x}+\sqrt{11+3 x}=5 \] a) \( 14 / 9 \). b) \( 15 / 7 \) c) \( 4 / 3 \) d) \( 20 / 9 \) e) Ninguno

Para resolver la ecuación: \[ \sqrt{2 - 3x} + \sqrt{11 + 3x} = 5 \] **Paso 1: Introducir variables auxiliares** Sea \( y = \sqrt{2 - 3x} \) y \( z = \sqrt{11 + 3x} \). Entonces tenemos: \[ y + z = 5 \] **Paso 2: Elevar al cuadrado ambos lados** \[ (y + z)^2 = 25 \\ y^2 + 2yz + z^2 = 25 \] Sabemos que: \[ y^2 = 2 - 3x \\ z^2 = 11 + 3x \] Por lo tanto: \[ y^2 + z^2 = (2 - 3x) + (11 + 3x) = 13 \] Sustituyendo en la ecuación cuadrática: \[ 13 + 2yz = 25 \\ 2yz = 12 \\ yz = 6 \] **Paso 3: Encontrar \( y \) y \( z \)** Tenemos el sistema: \[ y + z = 5 \\ yz = 6 \] Esto corresponde a una ecuación cuadrática: \[ t^2 - 5t + 6 = 0 \\ (t - 2)(t - 3) = 0 \] Por lo tanto, las soluciones son \( y = 2 \) y \( z = 3 \) o viceversa. **Caso 1: \( y = 2 \) y \( z = 3 \)** \[ \sqrt{2 - 3x} = 2 \\ 2 - 3x = 4 \\ -3x = 2 \\ x = -\frac{2}{3} \] Verificación: \[ \sqrt{11 + 3 \left(-\frac{2}{3}\right)} = \sqrt{9} = 3 \] **Caso 2: \( y = 3 \) y \( z = 2 \)** \[ \sqrt{2 - 3x} = 3 \\ 2 - 3x = 9 \\ -3x = 7 \\ x = -\frac{7}{3} \] Verificación: \[ \sqrt{11 + 3 \left(-\frac{7}{3}\right)} = \sqrt{4} = 2 \] **Paso 4: Calcular el producto de las soluciones** \[ x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{14}{9} \] **Respuesta correcta:** a) \( \frac{14}{9} \).