Resolver para " \( x \) ": \[ \frac{a x}{a+b}+2 a b=\frac{b x}{a-b}+a^{2}-b^{2} \]

Para resolver la ecuación dada: \[ \frac{a x}{a+b} + 2 a b = \frac{b x}{a-b} + a^{2} - b^{2} \] Primero, despejamos los términos que contienen \( x \) en un lado y los demás en el otro lado. Restamos \( \frac{b x}{a-b} \) de ambos lados: \[ \frac{a x}{a+b} - \frac{b x}{a-b} = a^{2} - b^{2} - 2 a b \] Ahora, utilizamos un común denominador para los términos en \( x \): \[ \frac{(a(a-b) - b(a+b)) x}{(a+b)(a-b)} = a^{2} - b^{2} - 2ab \] Simplificamos el numerador: \[ a(a-b) - b(a+b) = a^2 - ab - ab - b^2 = a^2 - 2ab - b^2 = (a-b)^{2} \] Por lo tanto, la ecuación se simplifica a: \[ \frac{(a-b)^{2} x}{(a+b)(a-b)} = a^{2} - b^{2} - 2ab \] Cancelando \( a-b \) en ambos lados (siempre que \( a \neq b \)): \[ \frac{(a-b) x}{(a+b)} = a - b \] Finalmente, multiplicamos ambos lados por \( \frac{a+b}{a-b} \): \[ x = \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)} = a+b \] Así que la solución es: \[ x = a + b \]