Demuestra que \( \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \) para todos los valores \( x \) en su dominio.

Para demostrar que \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \] para todos los valores \( x \) en su dominio, sigamos los siguientes pasos: ### **Paso 1: Determinar el dominio de las funciones** Las funciones \(\arcsin(x)\) y \(\arccos(x)\) están definidas para todos los números reales \( x \) que cumplen: \[ -1 \leq x \leq 1 \] Por lo tanto, el dominio común de ambas funciones es \( x \in [-1, 1] \). ### **Paso 2: Relación entre \(\arcsin(x)\) y \(\arccos(x)\)** Consideremos un ángulo \(\theta\) tal que: \[ \theta = \arcsin(x) \] Esto implica que: \[ \sin(\theta) = x \quad \text{y} \quad \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \] Sabemos que existe una relación fundamental entre el seno y el coseno: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin(\theta) \] Sustituyendo \(\sin(\theta) = x\): \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = x \] Por la definición de \(\arccos(x)\): \[ \frac{\pi}{2} - \theta = \arccos(x) \] Despejando \(\theta\): \[ \theta = \frac{\pi}{2} - \arccos(x) \] Dado que \(\theta = \arcsin(x)\), sustituimos: \[ \arcsin(x) = \frac{\pi}{2} - \arccos(x) \] ### **Paso 3: Sumando \(\arcsin(x)\) y \(\arccos(x)\)** Sumamos ambas funciones: \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \left(\frac{\pi}{2} - \arccos(x)\right) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \] ### **Conclusión** Hemos demostrado que para todo \( x \) en el intervalo \([-1, 1]\): \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \] Esto se cumple debido a la relación intrínseca entre las funciones trigonométricas inversas seno y coseno.