Soient \( \mathrm{A}=3 \mathrm{n}-5 \) et \( \mathrm{B}=2 \mathrm{n}-7 \) avee \( \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*} \). d est un entier non nul qui divise A et 1) Montrer que d divise \( 2 \mathrm{~A}-3 \mathrm{~B} \). 2) En déduire que d divise 11.

Pour démontrer les affirmations, procédons étape par étape. **1) Montrons que \( d \) divise \( 2A - 3B \).** Étant donné que \( d \) divise \( A \) et \( B \), il existe des entiers \( k \) et \( l \) tels que : \[ A = d \cdot k \quad \text{et} \quad B = d \cdot l \] Calculons \( 2A - 3B \) : \[ 2A - 3B = 2(dk) - 3(dl) = d(2k - 3l) \] Ainsi, \( 2A - 3B \) est un multiple de \( d \), ce qui implique que \( d \) divise \( 2A - 3B \). **2) En déduire que \( d \) divise 11.** Calculons explicitement \( 2A - 3B \) en remplaçant \( A \) et \( B \) : \[ A = 3n - 5 \quad \text{et} \quad B = 2n - 7 \] \[ 2A = 2(3n - 5) = 6n - 10 \] \[ 3B = 3(2n - 7) = 6n - 21 \] \[ 2A - 3B = (6n - 10) - (6n - 21) = 11 \] Nous avons donc montré que \( d \) divise 11. Comme 11 est un entier premier, les diviseurs de 11 sont \( \pm1 \) et \( \pm11 \). Étant donné que \( d \) est un entier non nul, on conclut que : \[ d \in \{1, 11, -1, -11\} \] Cependant, dans le contexte des diviseurs dans \( \mathbb{N}^* \), on considère généralement les diviseurs positifs. Ainsi, \( d \) divise 11.