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**Résultats des équations dans l'intervalle \( ]-\pi ; \pi] \):**
a) \( \cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} \)
\[
x = -\frac{11\pi}{12}, \quad -\frac{\pi}{4}, \quad \frac{\pi}{12}, \quad \frac{3\pi}{4}
\]
b) \( \sin \left(3 x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\[
x = -\frac{23\pi}{36}, \quad -\frac{5\pi}{36}, \quad \frac{\pi}{36}, \quad \frac{19\pi}{36}, \quad \frac{25\pi}{36}, \quad \frac{43\pi}{36} \quad (\text{équiv. à } \frac{7\pi}{36})
\]
c) \( \cos (x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \)
\[
x = -\frac{\pi}{8}, \quad \frac{7\pi}{8}
\]
d) \( 2 \cos (2 x)=1 \)
\[
x = -\frac{5\pi}{6}, \quad -\frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5\pi}{6}
\]
Solución
**Exercice 61 : Résolution dans l'intervalle \( ]-\pi ; \pi] \)**
---
**a) \( \cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} \)**
Pour résoudre l'équation \( \cos \theta = \frac{1}{2} \), les solutions générales sont :
\[
\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Appliquons cela à notre équation :
\[
2x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
Résolvons pour \( x \) :
1. **Cas \( +\frac{\pi}{3} \) :**
\[
2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\
2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\
x = \frac{\pi}{12} + k\pi
\]
2. **Cas \( -\frac{\pi}{3} \) :**
\[
2x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \\
2x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \\
x = -\frac{\pi}{4} + k\pi
\]
Maintenant, trouvons les valeurs de \( x \) dans l'intervalle \( ]-\pi ; \pi] \) :
- Pour \( x = \frac{\pi}{12} + k\pi \) :
- \( k = -1 \) : \( x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12} \)
- \( k = 0 \) : \( x = \frac{\pi}{12} \)
- Pour \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \) :
- \( k = -1 \) : \( x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4} \) (hors de l'intervalle)
- \( k = 0 \) : \( x = -\frac{\pi}{4} \)
- \( k = 1 \) : \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \)
**Solutions :**
\[
x = -\frac{11\pi}{12}, \quad -\frac{\pi}{4}, \quad \frac{\pi}{12}, \quad \frac{3\pi}{4}
\]
---
**b) \( \sin \left(3 x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \)**
Pour résoudre l'équation \( \sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), les solutions générales sont :
\[
\theta = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Appliquons cela à notre équation :
\[
3x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 3x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi
\]
Résolvons pour \( x \) dans chaque cas :
1. **Première solution :**
\[
3x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{-3\pi + 4\pi}{12} + 2k\pi = \frac{\pi}{12} + 2k\pi \\
x = \frac{\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3}
\]
2. **Deuxième solution :**
\[
3x = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{15\pi + 4\pi}{12} + 2k\pi = \frac{19\pi}{12} + 2k\pi \\
x = \frac{19\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3}
\]
Maintenant, déterminons les valeurs de \( x \) dans \( ]-\pi ; \pi] \) en choisissant des valeurs appropriées de \( k \).
**Première famille de solutions :**
\[
x = \frac{\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3}
\]
- \( k = -1 \) : \( x = \frac{\pi}{36} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 24\pi}{36} = -\frac{23\pi}{36} \)
- \( k = 0 \) : \( x = \frac{\pi}{36} \)
- \( k = 1 \) : \( x = \frac{\pi}{36} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 24\pi}{36} = \frac{25\pi}{36} \)
**Deuxième famille de solutions :**
\[
x = \frac{19\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3}
\]
- \( k = -1 \) : \( x = \frac{19\pi}{36} - \frac{2\pi}{3} = \frac{19\pi - 24\pi}{36} = -\frac{5\pi}{36} \)
- \( k = 0 \) : \( x = \frac{19\pi}{36} \)
- \( k = 1 \) : \( x = \frac{19\pi}{36} + \frac{2\pi}{3} = \frac{19\pi + 24\pi}{36} = \frac{43\pi}{36} \) (égal à \( \frac{7\pi}{36} \) après réduction modulo \( 2\pi \))
**Solutions :**
\[
x = -\frac{23\pi}{36}, \quad -\frac{5\pi}{36}, \quad \frac{\pi}{36}, \quad \frac{19\pi}{36}, \quad \frac{25\pi}{36}, \quad \frac{43\pi}{36} \quad \text{(équiv. à } \frac{7\pi}{36}\text{)}
\]
---
**c) \( \cos (x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \)**
Nous savons que \( \cos \alpha = \cos \beta \) implique :
\[
\alpha = \beta + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \alpha = -\beta + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Appliquons cela à notre équation :
\[
x = x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 2k\pi
\]
Résolvons chaque cas :
1. **Première équation :**
\[
x = x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \\
0 = \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]
Cette équation n'admet pas de solution car \( \frac{\pi}{4} + 2k\pi \neq 0 \) pour tout \( k \in \mathbb{Z} \).
2. **Deuxième équation :**
\[
x = -x - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \\
2x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \\
x = -\frac{\pi}{8} + k\pi
\]
Trouvons les valeurs de \( x \) dans \( ]-\pi ; \pi] \) :
- Pour \( k = -1 \) : \( x = -\frac{\pi}{8} - \pi = -\frac{9\pi}{8} \) (hors de l'intervalle)
- Pour \( k = 0 \) : \( x = -\frac{\pi}{8} \)
- Pour \( k = 1 \) : \( x = -\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{7\pi}{8} \)
**Solutions :**
\[
x = -\frac{\pi}{8}, \quad \frac{7\pi}{8}
\]
---
**d) \( 2 \cos (2 x)=1 \)**
Résolvons l'équation :
\[
2 \cos(2x) = 1 \\
\cos(2x) = \frac{1}{2}
\]
Les solutions de \( \cos \theta = \frac{1}{2} \) sont :
\[
\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Appliquons cela à \( 2x \) :
\[
2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
Résolvons pour \( x \) :
\[
x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi
\]
Trouvons les valeurs de \( x \) dans \( ]-\pi ; \pi] \) :
1. **Pour \( x = \frac{\pi}{6} + k\pi \) :**
- \( k = -1 \) : \( x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6} \)
- \( k = 0 \) : \( x = \frac{\pi}{6} \)
2. **Pour \( x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \) :**
- \( k = -1 \) : \( x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} \) (hors de l'intervalle)
- \( k = 0 \) : \( x = -\frac{\pi}{6} \)
- \( k = 1 \) : \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \)
**Solutions :**
\[
x = -\frac{5\pi}{6}, \quad -\frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5\pi}{6}
\]
---
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