2. Uma escada de 8 m está apoiada em uma parede vertical. A base da escada escorrega horizontalmente à taxa constante de \( 0,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). Determine a taxa de variação do deslocamento do topo da escada no instante em que este se encontar a 4 m do chão.

Para resolver o problema, vamos usar o teorema de Pitágoras e a relação entre as taxas de variação. 1. **Identificação das variáveis:** - Seja \( x \) a distância da base da escada à parede (em metros). - Seja \( y \) a altura do topo da escada em relação ao chão (em metros). - A escada tem um comprimento fixo de \( L = 8 \) m. 2. **Relação entre as variáveis:** De acordo com o teorema de Pitágoras, temos: \[ x^2 + y^2 = L^2 \] Substituindo \( L \): \[ x^2 + y^2 = 8^2 \] \[ x^2 + y^2 = 64 \] 3. **Derivando a equação:** Derivamos ambos os lados em relação ao tempo \( t \): \[ 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 \] Simplificando, obtemos: \[ x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0 \] 4. **Substituindo as taxas de variação:** Sabemos que a base da escada escorrega horizontalmente à taxa de \( \frac{dx}{dt} = 0,2 \, \text{m/s} \). Precisamos encontrar \( \frac{dy}{dt} \) quando \( y = 4 \, \text{m} \). 5. **Encontrando \( x \) quando \( y = 4 \):** Usando a relação \( x^2 + y^2 = 64 \): \[ x^2 + 4^2 = 64 \] \[ x^2 + 16 = 64 \] \[ x^2 = 48 \] \[ x = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \, \text{m} \] 6. **Substituindo os valores na equação derivada:** Agora, substituímos \( x \), \( y \) e \( \frac{dx}{dt} \) na equação: \[ (4\sqrt{3}) (0,2) + 4 \frac{dy}{dt} = 0 \] \[ 0,8\sqrt{3} + 4 \frac{dy}{dt} = 0 \] \[ 4 \frac{dy}{dt} = -0,8\sqrt{3} \] \[ \frac{dy}{dt} = -\frac{0,8\sqrt{3}}{4} = -0,2\sqrt{3} \, \text{m/s} \] 7. **Conclusão:** A taxa de variação do deslocamento do topo da escada no instante em que este se encontra a 4 m do chão é: \[ \frac{dy}{dt} \approx -0,346 \, \text{m/s} \] Portanto, o topo da escada desce a uma taxa de aproximadamente \( 0,346 \, \text{m/s} \).