Responder
Die waardes van die kwadratiese getalpatroon is \( a = 1 \), \( b = -7 \), en \( c = 19 \). In die 75ste patroon is daar 5119 kolle.
Solución
Om die waardes van \( a \), \( b \), en \( c \) te bepaal, begin ons met die gegewe inligting:
1. Die algemene term van die kwadratiese getalpatroon is \( T_n = a n^2 + b n + c \).
2. Ons weet dat \( T_3 - T_2 = -2 \).
3. Die derde term van die reeks is \( T_3 = 7 \).
### Stap 1: Skryf die uitdrukkings vir \( T_2 \) en \( T_3 \)
Die tweede term is:
\[
T_2 = a(2^2) + b(2) + c = 4a + 2b + c
\]
Die derde term is:
\[
T_3 = a(3^2) + b(3) + c = 9a + 3b + c
\]
### Stap 2: Gebruik die gegewe inligting
Ons het die volgende twee vergelykings:
1. \( T_3 - T_2 = -2 \):
\[
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = -2
\]
Dit vereenvoudig tot:
\[
5a + b = -2 \quad \text{(Vergelyking 1)}
\]
2. \( T_3 = 7 \):
\[
9a + 3b + c = 7 \quad \text{(Vergelyking 2)}
\]
### Stap 3: Los die stelsels van vergelykings op
Ons het nou 'n stelsel van twee vergelykings:
1. \( 5a + b = -2 \)
2. \( 9a + 3b + c = 7 \)
Ons kan \( b \) uit Vergelyking 1 uitdruk:
\[
b = -2 - 5a
\]
Nou kan ons \( b \) in Vergelyking 2 substitueer:
\[
9a + 3(-2 - 5a) + c = 7
\]
Dit vereenvoudig tot:
\[
9a - 6 - 15a + c = 7
\]
\[
-6a + c = 13 \quad \text{(Vergelyking 3)}
\]
### Stap 4: Bepaal die waardes van \( a \), \( b \), en \( c \)
Nou het ons 'n tweede vergelyking met \( c \) in terme van \( a \):
\[
c = 13 + 6a
\]
Nou het ons \( b \) en \( c \) in terme van \( a \). Ons kan 'n waarde vir \( a \) aanneem om die ander waardes te vind.
Kom ons neem aan \( a = 1 \):
1. As \( a = 1 \):
\[
b = -2 - 5(1) = -7
\]
\[
c = 13 + 6(1) = 19
\]
### Stap 5: Kontroleer die waardes
Nou kan ons die waardes van \( a \), \( b \), en \( c \) kontroleer:
- \( T_n = n^2 - 7n + 19 \)
Kontroleer of dit aan die voorwaardes voldoen:
1. \( T_2 = 2^2 - 7(2) + 19 = 4 - 14 + 19 = 9 \)
2. \( T_3 = 3^2 - 7(3) + 19 = 9 - 21 + 19 = 7 \)
3. \( T_3 - T_2 = 7 - 9 = -2 \)
Al die voorwaardes is nagekom.
### Finale waardes
Die waardes is:
- \( a = 1 \)
- \( b = -7 \)
- \( c = 19 \)
Nou kan ons die aantal kolle in die 75ste patroon bepaal deur \( T_{75} \) te bereken:
\[
T_{75} = 1(75^2) - 7(75) + 19
\]
Laat ons dit bereken.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
\(1\times 75^{2}-7\times 75+19\)
- step1: Multiply:
\(75^{2}-7\times 75+19\)
- step2: Multiply the numbers:
\(75^{2}-525+19\)
- step3: Evaluate the power:
\(5625-525+19\)
- step4: Calculate:
\(5119\)
Die aantal kolle in die 75ste patroon is \( 5119 \).
### Samevatting
- Die waardes van die kwadratiese getalpatroon is:
- \( a = 1 \)
- \( b = -7 \)
- \( c = 19 \)
- Die aantal kolle in die 75ste patroon is \( 5119 \).
Revisado y aprobado por el equipo de tutoría de UpStudy
Explicar
Simplifique esta solución
