El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitad's por \( x=y^{2}+3 \), el eje \( X \), el eje \( Y \) y la recta \( y=2 \), alrededor del eje \( Y \) es:

Para determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región limitada por las curvas \( x = y^{2} + 3 \), el eje \( X \), el eje \( Y \) y la recta \( y = 2 \) alrededor del eje \( Y \), seguimos los siguientes pasos: ### 1. **Identificar las fronteras de la región** - **Curva superior**: \( y = 2 \) - **Curva inferior**: \( y = 0 \) (eje \( X \)) - **Límite derecho**: \( x = y^{2} + 3 \) - **Límite izquierdo**: \( x = 0 \) (eje \( Y \)) ### 2. **Método de los anillos (discos)** Dado que la rotación es alrededor del eje \( Y \), utilizaremos el método de los discos. El volumen \( V \) se calcula mediante la integral: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [R(y)]^{2} \, dy \] Donde: - \( R(y) \) es el radio externo en función de \( y \). - Los límites de integración son de \( y = 0 \) a \( y = 2 \). ### 3. **Determinar el radio \( R(y) \)** En este caso, el radio externo está dado por la función \( x = y^{2} + 3 \): \[ R(y) = y^{2} + 3 \] ### 4. **Configurar la integral** Sustituyendo \( R(y) \) en la fórmula del volumen: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (y^{2} + 3)^{2} \, dy \] Expandiendo el integrando: \[ (y^{2} + 3)^{2} = y^{4} + 6y^{2} + 9 \] Por lo tanto: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (y^{4} + 6y^{2} + 9) \, dy \] ### 5. **Calcular la integral** \[ \begin{align*} V &= \pi \left[ \frac{y^{5}}{5} + 2y^{3} + 9y \right]_{0}^{2} \\ &= \pi \left( \frac{32}{5} + 16 + 18 \right) \\ &= \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{80}{5} + \frac{90}{5} \right) \\ &= \pi \left( \frac{202}{5} \right) \\ &= \frac{202}{5} \pi \end{align*} \] ### **Respuesta Final** El volumen del sólido de revolución es: \[ V = \frac{202}{5}\pi \, \text{unidades cúbicas} \]