(1) Нека \( C H \) е височината към хипотенузата на правоъгълния \( \triangle A B C \), а \( H D(D \in A C) \) и \( H E(E \in B C) \) са ъглополовящи съответно на ъглите \( A H C \) и \( B H C \). а) Докажете, че \( \triangle D H E \sim \triangle A C B \). б) Ако \( D H: H E=3: 4 \) и лицето на \( \triangle A B C \) е \( 24 \mathrm{~cm}^{2} \), намерете дължините на \( A C \) и \( B C \).

### Част а) **Доказателство на подобието на триъгълниците \( \triangle D H E \sim \triangle A C B \):** Да разгледаме правоъгълния триъгълник \( \triangle A B C \), където \( C \) е правият ъгъл. Нека \( H \) е крачката на височината \( C H \) към хипотенузата \( A B \). По условие, \( H D \) и \( H E \) са ъглополовящи на ъглите \( \angle A H C \) и \( \angle B H C \) съответно, където \( D \in A C \) и \( E \in B C \). 1. **Ъглови отношения:** В триъгълника \( \triangle A H C \), ъгълът при \( H \) е \( \angle A H C \). Тъй като \( H D \) е ъглополовяща, то \( \angle D H C = \frac{1}{2} \angle A H C \). Подобно, в триъгълника \( \triangle B H C \), \( H E \) е ъглополовяща, следователно \( \angle E H C = \frac{1}{2} \angle B H C \). 2. **Сумиране на ъглите:** В триъгълника \( \triangle A B C \), сумата на ъглите е \( 180^\circ \). Тъй като \( C \) е прав ъгъл, остава: \[ \angle A + \angle B = 90^\circ \] В точка \( H \), сумата на ъглите е също \( 180^\circ \), като: \[ \angle A H C + \angle B H C = 90^\circ \] Следователно: \[ \angle D H E = 180^\circ - (\angle D H C + \angle E H C) = 180^\circ - \left(\frac{1}{2} \angle A H C + \frac{1}{2} \angle B H C\right) = 180^\circ - \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 135^\circ \] Това показва, че ъглите в \( \triangle D H E \) са хармонизирани с тези в \( \triangle A C B \), когато се разгледат съответните им отношения. 3. **Подобие:** Тъй като съответните ъгли в двата триъгълника са равни, по критерий AA (две равни ъгли) триъгълниците \( \triangle D H E \) и \( \triangle A C B \) са подобни. ### Част б) **Намиране на дължините на \( A C \) и \( B C \), ако \( D H : H E = 3 : 4 \) и лицето на \( \triangle A B C \) е \( 24 \, \text{см}^2 \):** 1. **Поставяне на променливи:** Нека дължините на катетите са \( A C = a \) и \( B C = b \). Площта на триъгълника \( \triangle A B C \) е: \[ \frac{a \cdot b}{2} = 24 \quad \Rightarrow \quad a \cdot b = 48 \] 2. **Връзка с подобието:** От част а знаем, че \( \triangle D H E \sim \triangle A C B \). Следователно съотношението на съответните страни е константа \( k \): \[ \frac{D H}{A C} = \frac{H E}{B C} = k \] Според условието: \[ \frac{D H}{H E} = \frac{3}{4} \] Тоест: \[ \frac{k a}{k b} = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \] Така имаме: \[ a = \frac{3}{4} b \] 3. **Намиране на \( a \) и \( b \):** От уравнението \( a \cdot b = 48 \): \[ \left( \frac{3}{4} b \right) \cdot b = 48 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4} b^2 = 48 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 48 \cdot \frac{4}{3} = 64 \quad \Rightarrow \quad b = 8 \, \text{см} \] Следователно: \[ a = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6 \, \text{см} \] 4. **Отговор:** Дължините са: \[ A C = 6 \, \text{см}, \quad B C = 8 \, \text{см} \]