Determina el valor de $$ \lim _{x \rightarrow \infty} x-3-\sqrt{x^{2}+2 \cdot x+1} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour déterminer la limite suivante :

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( x - 3 - \sqrt{x^{2} + 2x + 1} \right)
$$

**Étape 1 : Simplification de l'expression sous la racine**

Commençons par simplifier l'expression sous la racine :

$$
\sqrt{x^{2} + 2x + 1} = \sqrt{(x + 1)^{2}} = |x + 1|
$$

Comme $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$, $$ x + 1 $$ est positif. Ainsi,

$$
\sqrt{x^{2} + 2x + 1} = x + 1
$$

**Étape 2 : Substitution dans l'expression originale**

Substituons cette simplification dans l'expression originale :

$$
x - 3 - \sqrt{x^{2} + 2x + 1} = x - 3 - (x + 1)
$$

Simplifions davantage :

$$
x - 3 - x - 1 = -4
$$

**Conclusion**

Ainsi, la limite est :

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( x - 3 - \sqrt{x^{2} + 2x + 1} \right) = -4
$$
La limite est -4.

Determina el valor de \( \lim _{x \rightarrow \infty} x-3-\sqrt{x^{2}+2 \cdot x+1} \)