5. Considera uma certa linha \( n \) do triângulo de Pascal. Sabe-se que " \( C_{6}+{ }^{n} C_{7}+{ }^{n+1} C_{8}={ }^{n+2} C_{20} \). Sem recorrer à calculadora, a não ser para eventuais cálculos numéricos, determina a soma de todo elementos da linha \( n+1 \). 6. Considera o desenvolvimento do binómio \( \left(\sqrt{x}-\frac{a}{x^{2}}\right)^{19} \), com \( x>0 \) e \( a \in \mathbb{R} \).

As linhas do triângulo de Pascal têm uma propriedade mágica: a soma de todos os elementos da linha \( n \) é igual a \( 2^n \). Assim, para encontrar a soma dos elementos na linha \( n+1 \), basta calcular \( 2^{n+1} \). Como a equação dada é uma bela equação do triângulo de Pascal, podemos resolver \( n \) de forma que, ao encontrá-lo, possamos, então, descobrir a soma total da linha \( n+1 \) como \( 2^{n+1} \). No desenvolvimento do binômio \( \left(\sqrt{x}-\frac{a}{x^{2}}\right)^{19} \), estamos diante de uma adorável aplicação do Teorema do Binômio. Ao expandir, utilizaremos a forma \( (a + b)^n \), onde \( a = \sqrt{x} \) e \( b = -\frac{a}{x^{2}} \) e calcular o termo geral. Lembre-se de que cada termo da soma será da forma \( C_{k}^{19} \left(\sqrt{x}\right)^{19-k} \left(-\frac{a}{x^{2}}\right)^k \). O resultado se complicará conforme avançamos nos valores de \( k \), então, manter os olhos abertos para simplificações será a chave!