Um triângulo tem dois lados que medem 7 e 10, e o ângulo entre eles mede 45 graus. Use a Lei dos Cossenos para determinar o comprimento do lado oposto.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar o comprimento do lado oposto ao ângulo de 45 graus em um triângulo com lados medindo 7 e 10 unidades, utilizaremos a **Lei dos Cossenos**. A Lei dos Cossenos é especialmente útil para calcular o comprimento de um lado quando conhecemos os outros dois lados e o ângulo entre eles.

### Passo a Passo:

1. **Identificação dos dados:**
   - Lado **a** = 7
   - Lado **b** = 10
   - Ângulo **C** = 45°

2. **Fórmula da Lei dos Cossenos:**
   
   $$
   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
   $$
   
   Onde:
   - $$ c $$ é o comprimento do lado que queremos encontrar.
   - $$ a $$ e $$ b $$ são os lados conhecidos.
   - $$ C $$ é o ângulo entre os lados $$ a $$ e $$ b $$.

3. **Substituindo os valores na fórmula:**
   
   $$
   c^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos(45°)
   $$
   
   $$
   c^2 = 49 + 100 - 140 \cdot \cos(45°)
   $$

4. **Calculando o valor de $$ \cos(45°) $$:**
   
   Sabemos que:
   
   $$
   \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7071
   $$
   
5. **Continuando o cálculo:**
   
   $$
   c^2 = 149 - 140 \cdot 0,7071
   $$
   
   $$
   c^2 = 149 - 98,994
   $$
   
   $$
   c^2 = 50,006
   $$
   
6. **Calculando $$ c $$:**
   
   $$
   c = \sqrt{50,006} \approx 7,071
   $$
   
### Resultado Final:

O comprimento do lado oposto ao ângulo de 45 graus é aproximadamente **7,07 unidades**.
O comprimento do lado oposto é aproximadamente 7,07 unidades.

Um triângulo tem dois lados que medem 7 e 10, e o ângulo entre eles mede 45 graus. Use a Lei dos Cossenos para determinar o comprimento do lado oposto.

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