(4) Si $$ B(x)=\frac{\cos 2 x+\operatorname{sen}^{2} x}{1-\cos ^{2} x} ; C(x)=\cot ^{2} x \quad D(x)=\cos x $$ a) Denuestre que $$ B(x)=C(x) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para demostrar que $$ B(x) = C(x) $$, partimos de las expresiones dadas:

$$
B(x) = \frac{\cos 2x + \sen^{2}x}{1 - \cos^{2}x}
$$
$$
C(x) = \cot^{2}x
$$

**Paso 1: Simplificar el denominador de $$ B(x) $$**

Sabemos que:

$$
1 - \cos^{2}x = \sen^{2}x
$$

Por lo tanto, podemos reescribir $$ B(x) $$ como:

$$
B(x) = \frac{\cos 2x + \sen^{2}x}{\sen^{2}x} = \frac{\cos 2x}{\sen^{2}x} + \frac{\sen^{2}x}{\sen^{2}x} = \frac{\cos 2x}{\sen^{2}x} + 1
$$

**Paso 2: Expresar $$ \cos 2x $$ en términos de $$ \sen^{2}x $$**

Recordemos la identidad trigonométrica:

$$
\cos 2x = 1 - 2\sen^{2}x
$$

Sustituyendo en $$ B(x) $$:

$$
B(x) = \frac{1 - 2\sen^{2}x}{\sen^{2}x} + 1 = \frac{1}{\sen^{2}x} - 2 + 1 = \frac{1}{\sen^{2}x} - 1
$$

**Paso 3: Reconocer la definición de $$ \cot^{2}x $$**

Sabemos que:

$$
\cot^{2}x = \frac{\cos^{2}x}{\sen^{2}x} = \frac{1}{\sen^{2}x} - 1
$$

Por lo tanto:

$$
B(x) = \frac{1}{\sen^{2}x} - 1 = \cot^{2}x = C(x)
$$

**Conclusión:**

Hemos demostrado que $$ B(x) = C(x) $$.
$$ B(x) = C(x) $$

(4) Si \( B(x)=\frac{\cos 2 x+\operatorname{sen}^{2} x}{1-\cos ^{2} x} ; C(x)=\cot ^{2} x \quad D(x)=\cos x \) a) Denuestre que \( B(x)=C(x) \)