STABIUSU SE LE FUNZIONI SONO INIETIIVE, SURIETTIVE OBIETTIVE \( f(x)=-x^{2} \)

Per determinare se la funzione \( f(x) = -x^2 \) è iniettiva, suriettiva o biiettiva, dobbiamo analizzare le sue proprietà. ### 1. Iniettività Una funzione è iniettiva se valori distinti dell'input producono valori distinti dell'output. In altre parole, se \( f(a) = f(b) \) implica che \( a = b \). Verifichiamo se \( f(a) = f(b) \) implica \( a = b \): \[ f(a) = -a^2 \quad \text{e} \quad f(b) = -b^2 \] Se \( f(a) = f(b) \), allora: \[ -a^2 = -b^2 \implies a^2 = b^2 \] Da \( a^2 = b^2 \) possiamo avere due possibilità: \( a = b \) o \( a = -b \). Quindi, la funzione non è iniettiva, poiché ci sono valori distinti di \( a \) e \( b \) (ad esempio, \( a = 1 \) e \( b = -1 \)) che producono lo stesso output. ### 2. Suriettività Una funzione è suriettiva se per ogni valore \( y \) nel codominio esiste almeno un valore \( x \) nel dominio tale che \( f(x) = y \). Il codominio della funzione \( f(x) = -x^2 \) è \( (-\infty, 0] \) poiché il valore massimo della funzione è 0 (quando \( x = 0 \)) e diminuisce all'infinito per valori di \( x \) positivi o negativi. Per ogni \( y \) in \( (-\infty, 0] \), possiamo trovare un \( x \) tale che \( f(x) = y \): \[ y = -x^2 \implies x^2 = -y \] Poiché \( -y \) è positivo per \( y < 0 \), esiste sempre un \( x \) reale che soddisfa questa equazione. Pertanto, la funzione è suriettiva. ### 3. Biiettività Una funzione è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Poiché abbiamo stabilito che \( f(x) = -x^2 \) non è iniettiva, non può essere biiettiva. ### Conclusione La funzione \( f(x) = -x^2 \) è: - **Non iniettiva** - **Suriettiva** - **Non biiettiva**