e) \( f(x)=\ln \left(\frac{1+\sqrt{25-x^{2}}}{x}\right)-\operatorname{arcsen}\left(\frac{2}{2+x^{2}}\right) \)

Para analizar la función \( f(x) = \ln \left(\frac{1+\sqrt{25-x^{2}}}{x}\right) - \operatorname{arcsen}\left(\frac{2}{2+x^{2}}\right) \), procederemos a determinar sus características, como el dominio, la continuidad y los puntos críticos. ### Paso 1: Determinar el dominio de \( f(x) \) 1. **Dominio de \( \ln \left(\frac{1+\sqrt{25-x^{2}}}{x}\right) \)**: - El argumento del logaritmo debe ser positivo: \[ \frac{1+\sqrt{25-x^{2}}}{x} > 0 \] - Esto implica que \( x > 0 \) y \( 1+\sqrt{25-x^{2}} > 0 \). La expresión \( \sqrt{25-x^{2}} \) es real cuando \( 25-x^{2} \geq 0 \), es decir, \( -5 \leq x \leq 5 \). Sin embargo, dado que \( x > 0 \), el rango se reduce a \( 0 < x \leq 5 \). 2. **Dominio de \( \operatorname{arcsen}\left(\frac{2}{2+x^{2}}\right) \)**: - La función \( \operatorname{arcsen}(y) \) está definida para \( -1 \leq y \leq 1 \). Por lo tanto, necesitamos que: \[ -1 \leq \frac{2}{2+x^{2}} \leq 1 \] - La parte \( \frac{2}{2+x^{2}} \) siempre es positiva y menor o igual a 1 para \( x > 0 \). Así que no hay restricciones adicionales en el dominio. ### Conclusión del dominio El dominio de \( f(x) \) es \( (0, 5] \). ### Paso 2: Continuidad La función \( f(x) \) es continua en su dominio, ya que tanto el logaritmo como la función \( \operatorname{arcsen} \) son continuas en sus respectivos dominios. ### Paso 3: Puntos críticos Para encontrar los puntos críticos, calculamos la derivada \( f'(x) \) y la igualamos a cero. 1. **Derivada de \( f(x) \)**: - Usamos la regla de la derivada del logaritmo y la derivada de \( \operatorname{arcsen} \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln \left(\frac{1+\sqrt{25-x^{2}}}{x}\right) \right) - \frac{d}{dx} \left( \operatorname{arcsen}\left(\frac{2}{2+x^{2}}\right) \right) \] 2. **Calculamos cada derivada**: - Para la parte del logaritmo: \[ f_1'(x) = \frac{1}{\frac{1+\sqrt{25-x^{2}}}{x}} \cdot \left( \frac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}} + \frac{1+\sqrt{25-x^{2}}}{x^2} \right) \] - Para la parte de \( \operatorname{arcsen} \): \[ f_2'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2}{2+x^{2}}\right)^{2}}} \cdot \left(-\frac{4x}{(2+x^{2})^2}\right) \] ### Paso 4: Igualar a cero Igualamos \( f'(x) = 0 \) y resolvemos para \( x \). ### Paso 5: Evaluar extremos Finalmente, evaluamos \( f(x) \) en los extremos del dominio y en los puntos críticos encontrados para determinar los máximos y mínimos. Si deseas que realice los cálculos de la derivada y encuentre los puntos críticos, por favor házmelo saber.