5. Considera uma certa linha $$ n $$ do triângulo de Pascal. Sabe-se que $$ { }^{n} C_{6}+{ }^{n} C_{7}+{ }^{n+1} C_{8}={ }^{n+2} C_{20} $$. Sem recorrer à calculadora, a não ser para eventuais cálculos numéricos, determina a soma elementos da linha $$ n+1 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos analisar a equação dada:

$$
{ }^{n} C_{6}+{ }^{n} C_{7}+{ }^{n+1} C_{8}={ }^{n+2} C_{20}
$$

### Passo 1: Usar a identidade do triângulo de Pascal

Sabemos que a soma de dois coeficientes binomiais pode ser expressa como:

$$
{ }^{n} C_{k} + { }^{n} C_{k+1} = { }^{n+1} C_{k+1}
$$

Aplicando isso à nossa equação, temos:

$$
{ }^{n} C_{6} + { }^{n} C_{7} = { }^{n+1} C_{7}
$$

Substituindo na equação original, obtemos:

$$
{ }^{n+1} C_{7} + { }^{n+1} C_{8} = { }^{n+2} C_{20}
$$

### Passo 2: Aplicar a identidade novamente

Agora, aplicamos a identidade do triângulo de Pascal novamente:

$$
{ }^{n+1} C_{7} + { }^{n+1} C_{8} = { }^{n+2} C_{8}
$$

Assim, podemos reescrever a equação como:

$$
{ }^{n+2} C_{8} = { }^{n+2} C_{20}
$$

### Passo 3: Analisar a equação

A equação $$ { }^{n+2} C_{8} = { }^{n+2} C_{20} $$ só pode ser verdadeira se $$ 8 = 20 $$, o que não é verdade. Portanto, precisamos considerar que a equação não é válida para todos os $$ n $$.

### Passo 4: Determinar a soma dos elementos da linha $$ n+1 $$

A soma dos elementos da linha $$ n+1 $$ do triângulo de Pascal é dada por:

$$
\sum_{k=0}^{n+1} { }^{n+1} C_{k} = 2^{n+1}
$$

### Conclusão

Portanto, a soma dos elementos da linha $$ n+1 $$ do triângulo de Pascal é:

$$
\boxed{2^{n+1}}
$$
A soma dos elementos da linha $$ n+1 $$ do triângulo de Pascal é $$ 2^{n+1} $$.

Considera uma certa linha do triângulo de Pascal.
Sabe-se que .
Sem recorrer à calculadora, a não ser para eventuais cálculos numéricos, determina a soma
elementos da linha .

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

Passo 1: Usar a identidade do triângulo de Pascal

Passo 2: Aplicar a identidade novamente

Passo 3: Analisar a equação

Passo 4: Determinar a soma dos elementos da linha

Conclusão

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Considera uma certa linha do triângulo de Pascal. Sabe-se que . Sem recorrer à calculadora, a não ser para eventuais cálculos numéricos, determina a soma elementos da linha .