5. Considera uma certa linha \( n \) do triângulo de Pascal. Sabe-se que \( { }^{n} C_{6}+{ }^{n} C_{7}+{ }^{n+1} C_{8}={ }^{n+2} C_{20} \). Sem recorrer à calculadora, a não ser para eventuais cálculos numéricos, determina a soma elementos da linha \( n+1 \).

Para resolver o problema, vamos analisar a equação dada: \[ { }^{n} C_{6}+{ }^{n} C_{7}+{ }^{n+1} C_{8}={ }^{n+2} C_{20} \] ### Passo 1: Usar a identidade do triângulo de Pascal Sabemos que a soma de dois coeficientes binomiais pode ser expressa como: \[ { }^{n} C_{k} + { }^{n} C_{k+1} = { }^{n+1} C_{k+1} \] Aplicando isso à nossa equação, temos: \[ { }^{n} C_{6} + { }^{n} C_{7} = { }^{n+1} C_{7} \] Substituindo na equação original, obtemos: \[ { }^{n+1} C_{7} + { }^{n+1} C_{8} = { }^{n+2} C_{20} \] ### Passo 2: Aplicar a identidade novamente Agora, aplicamos a identidade do triângulo de Pascal novamente: \[ { }^{n+1} C_{7} + { }^{n+1} C_{8} = { }^{n+2} C_{8} \] Assim, podemos reescrever a equação como: \[ { }^{n+2} C_{8} = { }^{n+2} C_{20} \] ### Passo 3: Analisar a equação A equação \( { }^{n+2} C_{8} = { }^{n+2} C_{20} \) só pode ser verdadeira se \( 8 = 20 \), o que não é verdade. Portanto, precisamos considerar que a equação não é válida para todos os \( n \). ### Passo 4: Determinar a soma dos elementos da linha \( n+1 \) A soma dos elementos da linha \( n+1 \) do triângulo de Pascal é dada por: \[ \sum_{k=0}^{n+1} { }^{n+1} C_{k} = 2^{n+1} \] ### Conclusão Portanto, a soma dos elementos da linha \( n+1 \) do triângulo de Pascal é: \[ \boxed{2^{n+1}} \]