1. $$ \sqrt{x+8}=x+1 $$ 3. $$ |\sin x|=\sin x \cos x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

### Задача 1. $$ \sqrt{x+8} = x + 1 $$

**Решение:**

1. **Определение области определения:**
   - Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
     $$
     x + 8 \geq 0 \Rightarrow x \geq -8
     $$
   - Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как левая часть (корень) неотрицательна:
     $$
     x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1
     $$
   - Таким образом, общая область определения: $$ x \geq -1 $$.

2. **Возведение обеих частей уравнения в квадрат:**
   $$
   (\sqrt{x + 8})^2 = (x + 1)^2 \Rightarrow x + 8 = x^2 + 2x + 1
   $$

3. **Приведение к квадратному уравнению:**
   $$
   x^2 + 2x + 1 - x - 8 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 7 = 0
   $$

4. **Решение квадратного уравнения:**
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}
   $$
   Таким образом, корни:
   $$
   x_1 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \approx 2.19, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{29}}{2} \approx -3.19
   $$

5. **Проверка корней на принадлежность области определения:**
   - $$ x_1 \approx 2.19 \geq -1 $$ — допустимый корень.
   - $$ x_2 \approx -3.19 < -1 $$ — отвергается.

**Ответ:**
$$
x = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}
$$

---

### Задача 3. $$ |\sin x| = \sin x \cos x $$

**Решение:**

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $$\sin x$$.

1. **Случай 1: $$\sin x \geq 0$$**
   - Уравнение становится:
     $$
     \sin x = \sin x \cos x
     $$
   - Если $$\sin x = 0$$, уравнение выполняется:
     $$
     \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
     $$
   - Если $$\sin x \neq 0$$, можно разделить обе части на $$\sin x$$:
     $$
     1 = \cos x \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
     $$

2. **Случай 2: $$\sin x < 0$$**
   - Уравнение становится:
     $$
     -\sin x = \sin x \cos x \Rightarrow -\sin x - \sin x \cos x = 0 \Rightarrow -\sin x (1 + \cos x) = 0
     $$
   - Возможные решения:
     - $$\sin x = 0$$: противоречит условию $$\sin x < 0$$.
     - $$1 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -1 \Rightarrow x = (2k + 1)\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
     - Однако при $$x = (2k + 1)\pi$$ $$\sin x = 0$$, что опять противоречит условию.

**Таким образом, единственными решениями являются:**
$$
x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

**Ответ:**
$$
x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$
### Задача 1. $$ \sqrt{x+8} = x + 1 $$ **Решение:** 1. **Определение области определения:** - $$ x \geq -1 $$ 2. **Возведение в квадрат:** $$ x + 8 = x^2 + 2x + 1 $$ $$ x^2 + x - 7 = 0 $$ 3. **Корни уравнения:** $$ x = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \approx 2.19 $$ **Ответ:** $$ x \approx 2.19 $$ --- ### Задача 3. $$ |\sin x| = \sin x \cos x $$ **Решение:** 1. **Случай 1: $$\sin x \geq 0$$** - $$ x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. **Случай 2: $$\sin x < 0$$** - Нет решений. **Ответ:** $$ x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$

1. \( \sqrt{x+8}=x+1 \) 3. \( |\sin x|=\sin x \cos x \)

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions