2. Determinar el polinomio de Taylor de segundo orden alrededor del punto $$ x_{0}=1 $$, para la función $$ f(x)=(x-1) \ln x $$. Utilizar el polinomio encontrado para aproximar $$ f(0.5) $$. 3. Calcular el polinomio de Maclaurin de cuarto orden de $$ f(x)=\ln (1+x) $$. Utilizar el resultado para

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Vamos a resolver los dos problemas paso a paso.

### Problema 2: Polinomio de Taylor de segundo orden

**Paso 1: Encontrar las derivadas necesarias**

Para encontrar el polinomio de Taylor de segundo orden de la función $$ f(x) = (x-1) \ln x $$ alrededor del punto $$ x_0 = 1 $$, necesitamos calcular $$ f(1) $$, $$ f'(1) $$ y $$ f''(1) $$.

1. **Cálculo de $$ f(1) $$**:
   $$
   f(1) = (1-1) \ln(1) = 0 \cdot 0 = 0
   $$

2. **Cálculo de $$ f'(x) $$**:
   Usamos la regla del producto:
   $$
   f'(x) = \ln x + (x-1) \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 - \frac{1}{x}
   $$
   Ahora evaluamos en $$ x = 1 $$:
   $$
   f'(1) = \ln(1) + 1 - 1 = 0
   $$

3. **Cálculo de $$ f''(x) $$**:
   Derivamos $$ f'(x) $$:
   $$
   f''(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
   $$
   Evaluamos en $$ x = 1 $$:
   $$
   f''(1) = 1 + 1 = 2
   $$

**Paso 2: Construir el polinomio de Taylor**

El polinomio de Taylor de segundo orden se da por la fórmula:
$$
P_2(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2
$$
Sustituyendo los valores que encontramos:
$$
P_2(x) = 0 + 0 \cdot (x - 1) + \frac{2}{2}(x - 1)^2 = (x - 1)^2
$$

**Paso 3: Aproximar $$ f(0.5) $$**

Ahora utilizamos el polinomio para aproximar $$ f(0.5) $$:
$$
P_2(0.5) = (0.5 - 1)^2 = (-0.5)^2 = 0.25
$$

### Problema 3: Polinomio de Maclaurin de cuarto orden

**Paso 1: Encontrar las derivadas necesarias**

Para la función $$ f(x) = \ln(1+x) $$, necesitamos calcular $$ f(0) $$, $$ f'(0) $$, $$ f''(0) $$, $$ f'''(0) $$ y $$ f^{(4)}(0) $$.

1. **Cálculo de $$ f(0) $$**:
   $$
   f(0) = \ln(1+0) = 0
   $$

2. **Cálculo de $$ f'(x) $$**:
   $$
   f'(x) = \frac{1}{1+x}
   $$
   Evaluamos en $$ x = 0 $$:
   $$
   f'(0) = 1
   $$

3. **Cálculo de $$ f''(x) $$**:
   $$
   f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}
   $$
   Evaluamos en $$ x = 0 $$:
   $$
   f''(0) = -1
   $$

4. **Cálculo de $$ f'''(x) $$**:
   $$
   f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}
   $$
   Evaluamos en $$ x = 0 $$:
   $$
   f'''(0) = 2
   $$

5. **Cálculo de $$ f^{(4)}(x) $$**:
   $$
   f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}
   $$
   Evaluamos en $$ x = 0 $$:
   $$
   f^{(4)}(0) = -6
   $$

**Paso 2: Construir el polinomio de Maclaurin**

El polinomio de Maclaurin de cuarto orden se da por la fórmula:
$$
P_4(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \frac{f'''(0)}{6}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{24}x^4
$$
Sustituyendo los valores que encontramos:
$$
P_4(x) = 0 + 1 \cdot x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3 - \frac{6}{24}x^4
$$
Simplificando:
$$
P_4(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4
$$

### Resumen de resultados

1. El polinomio de Taylor de segundo orden de $$ f(x) = (x-1) \ln x $$ alrededor de $$ x_0 = 1 $$ es $$ P_2(x) = (x - 1)^2 $$ y $$ f(0.5) \approx 0.25 $$.
2. El polinomio de Maclaurin de cuarto orden de $$ f(x) = \ln(1+x) $$ es $$ P_4(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 $$.
El polinomio de Taylor de segundo orden para $$ f(x) = (x-1) \ln x $$ alrededor de $$ x_0 = 1 $$ es $$ P_2(x) = (x - 1)^2 $$. Utilizando este polinomio, $$ f(0.5) $$ se aproxima a 0.25. El polinomio de Maclaurin de cuarto orden para $$ f(x) = \ln(1+x) $$ es $$ P_4(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 $$.

2. Determinar el polinomio de Taylor de segundo orden alrededor del punto \( x_{0}=1 \), para la función \( f(x)=(x-1) \ln x \). Utilizar el polinomio encontrado para aproximar \( f(0.5) \). 3. Calcular el polinomio de Maclaurin de cuarto orden de \( f(x)=\ln (1+x) \). Utilizar el resultado para

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