Disegna una circonferenza di diametro \( A B \) e fissa su di essa un punto C. Congiungendo gli estremi del diametro con il punto C si ot- tiene un triangolo rettangolo. Calcola il peri- metro e l'area di tale triangolo se la somma dei cateti è 112 dm e uno è \( \frac{3}{4} \) dell'altro. \[ \left[192 \mathrm{dm} ; 1536 \mathrm{dm}^{2}\right] \]

Per risolvere il problema, seguiamo i passi dettagliati di seguito. **Dato:** - Un triangolo rettangolo con cateti \( AC \) e \( BC \), e ipotenusa \( AB \). - La somma dei cateti è \( 112 \, \text{dm} \). - Uno dei cateti è \( \frac{3}{4} \) dell'altro. **Passo 1: Definire le incognite** Sia: - \( AC = x \) (dm) - \( BC = y \) (dm) **Passo 2: Stabilire le equazioni** Dalle informazioni fornite abbiamo: 1. \( x + y = 112 \) (somma dei cateti) 2. Uno dei cateti è \( \frac{3}{4} \) dell'altro. Supponiamo che \( x = \frac{3}{4}y \). **Passo 3: Risolvere il sistema di equazioni** Sostituiamo \( x = \frac{3}{4}y \) nella prima equazione: \[ \frac{3}{4}y + y = 112 \] \[ \frac{7}{4}y = 112 \] \[ y = 112 \times \frac{4}{7} = 64 \, \text{dm} \] Ora, calcoliamo \( x \): \[ x = \frac{3}{4} \times 64 = 48 \, \text{dm} \] **Passo 4: Calcolare l'ipotenusa \( AB \)** Utilizziamo il teorema di Pitagora: \[ AB = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{48^2 + 64^2} = \sqrt{2304 + 4096} = \sqrt{6400} = 80 \, \text{dm} \] **Passo 5: Calcolare il perimetro del triangolo** Il perimetro \( P \) è dato dalla somma dei lati: \[ P = x + y + AB = 48 + 64 + 80 = 192 \, \text{dm} \] **Passo 6: Calcolare l'area del triangolo** L'area \( A \) di un triangolo rettangolo è: \[ A = \frac{1}{2} \times x \times y = \frac{1}{2} \times 48 \times 64 = 1536 \, \text{dm}^2 \] **Risultato Finale:** \[ \left[192 \, \text{dm} ; 1536 \, \text{dm}^2\right] \]