10. Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función $$ y=x^{2}+4 $$, la recta tangente a la misma en el punto de abscisa -2 y el eje $$ O Y $$. 11. Sea la gráfica de la parábola $$ y=3 x^{2} $$ en el intenaln

Question

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Para resolver el problema 10, seguiremos los siguientes pasos:

**Dado:**
- La función cuadrática $$ y = x^2 + 4 $$.
- Se necesita encontrar el área limitada por esta curva, la recta tangente en el punto donde la abscisa es -2, y el eje $$ OY $$.

**Paso 1: Encontrar el punto de tangencia**
- Evaluamos la función en $$ x = -2 $$:
  $$
  y = (-2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8
  $$
  Por lo tanto, el punto de tangencia es $$ (-2, 8) $$.

**Paso 2: Encontrar la ecuación de la recta tangente**
- Derivamos la función para obtener la pendiente de la tangente:
  $$
  y' = 2x
  $$
- Evaluamos la derivada en $$ x = -2 $$:
  $$
  y'(-2) = 2(-2) = -4
  $$
  Entonces, la pendiente de la tangente es -4.
- Usamos la fórmula de la recta tangente:
  $$
  y - y_1 = m(x - x_1)
  $$
  Sustituyendo los valores:
  $$
  y - 8 = -4(x + 2)
  $$
  Simplificando:
  $$
  y = -4x
  $$

**Paso 3: Determinar los límites de integración**
- Encontramos los puntos de intersección entre $$ y = x^2 + 4 $$ y $$ y = -4x $$:
  $$
  x^2 + 4 = -4x \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x + 4 = 0
  $$
  Resolviendo la ecuación cuadrática:
  $$
  x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = -2
  $$
  Por lo tanto, las curvas se intersectan en $$ x = -2 $$.
- El área está limitada entre $$ x = -2 $$ y $$ x = 0 $$ (eje $$ OY $$).

**Paso 4: Calcular el área**
$$
A = \int_{-2}^{0} \left( x^2 + 4 + 4x \right) dx = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 4) \, dx
$$
Integrando término a término:
$$
A = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{0}
$$
Evaluamos en los límites:
$$
A = \left(0 + 0 + 0\right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2) \right) = 0 - \left( \frac{-8}{3} + 8 - 8 \right) = \frac{8}{3}
$$

**Respuesta Final:**
El área del recinto es $$\frac{8}{3}$$ unidades cuadradas.
El área del recinto es $$\frac{8}{3}$$ unidades cuadradas.

Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función ,
la recta tangente a la misma en el punto de abscisa -2 y el eje .

Sea la gráfica de la parábola en el intenaln

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Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función , la recta tangente a la misma en el punto de abscisa -2 y el eje . Sea la gráfica de la parábola en el intenaln