58. Halla la ecuación de la circunferencia por los puntos $$ \mathrm{P}_{1}(-1 ; 2) ; \mathrm{P}_{2}(3 ; 5) ; \mathrm{P}_{3}(4 ;-2) $$. 59. Uno de los extremos del diámetro de una cir- cunferencia de centro $$ \mathrm{C}(-3 ; 5) $$ es $$ \mathrm{P}(-5 ; 4) $$. Halla la ecuación de la circunferencia. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $$ (-2 ;-3) ;(3 ; 1) $$ y tiene centro sobre la recta $$ 3 x-y-1=0 $$. Halla la ecuación de la circunferencia si uno de sus diámetros une los puntos $$ (-2 ; 3) $$ y $$ (5 ;-1) $$.

Question

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Vamos a resolver cada uno de los problemas que has planteado.

### 58. Ecuación de la circunferencia por los puntos $$ P_1(-1, 2) $$, $$ P_2(3, 5) $$, $$ P_3(4, -2) $$

La ecuación general de una circunferencia es:

$$
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
$$

Donde $$ D $$, $$ E $$ y $$ F $$ son constantes que debemos determinar. Para encontrar estos valores, sustituimos las coordenadas de los puntos dados en la ecuación.

1. Para $$ P_1(-1, 2) $$:

$$
(-1)^2 + (2)^2 + D(-1) + E(2) + F = 0 \implies 1 + 4 - D + 2E + F = 0 \implies -D + 2E + F = -5 \quad (1)
$$

2. Para $$ P_2(3, 5) $$:

$$
(3)^2 + (5)^2 + D(3) + E(5) + F = 0 \implies 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0 \implies 3D + 5E + F = -34 \quad (2)
$$

3. Para $$ P_3(4, -2) $$:

$$
(4)^2 + (-2)^2 + D(4) + E(-2) + F = 0 \implies 16 + 4 + 4D - 2E + F = 0 \implies 4D - 2E + F = -20 \quad (3)
$$

Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones:

$$
\begin{align*}
-D + 2E + F &= -5 \quad (1) \
3D + 5E + F &= -34 \quad (2) \
4D - 2E + F &= -20 \quad (3)
\end{align*}
$$

Restamos la ecuación (1) de las otras dos para eliminar $$ F $$:

De (2) - (1):

$$
(3D + 5E + F) - (-D + 2E + F) = -34 + 5 \implies 4D + 3E = -29 \quad (4)
$$

De (3) - (1):

$$
(4D - 2E + F) - (-D + 2E + F) = -20 + 5 \implies 5D - 4E = -15 \quad (5)
$$

Ahora resolvemos el sistema (4) y (5):

Multiplicamos (4) por 4:

$$
16D + 12E = -116 \quad (6)
$$

Multiplicamos (5) por 3:

$$
15D - 12E = -45 \quad (7)
$$

Sumamos (6) y (7):

$$
31D = -161 \implies D = -\frac{161}{31} \approx -5.19
$$

Sustituyendo $$ D $$ en (4):

$$
4(-\frac{161}{31}) + 3E = -29 \implies -\frac{644}{31} + 3E = -29 \implies 3E = -29 + \frac{644}{31} \implies E = \frac{644 - 899}{93} \implies E = -\frac{255}{93} \approx -2.74
$$

Finalmente, sustituimos $$ D $$ y $$ E $$ en (1) para encontrar $$ F $$:

$$
-\left(-\frac{161}{31}\right) + 2\left(-\frac{255}{93}\right) + F = -5
$$

Resolviendo esto, encontramos $$ F $$.

### 59. Ecuación de la circunferencia con centro $$ C(-3, 5) $$ y extremo de diámetro $$ P(-5, 4) $$

El otro extremo del diámetro $$ P' $$ se puede encontrar usando la fórmula del punto medio:

$$
C = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
$$

Donde $$ C(-3, 5) $$ y $$ P(-5, 4) $$:

\[
-3 = \frac{-5 + x_2}{
### 58. Ecuación de la circunferencia por los puntos $$ P_1(-1, 2) $$, $$ P_2(3, 5) $$, $$ P_3(4, -2) $$ Para encontrar la ecuación de la circunferencia, se utilizan las coordenadas de los puntos y se resuelve un sistema de ecuaciones. ### 59. Ecuación de la circunferencia con centro $$ C(-3, 5) $$ y extremo de diámetro $$ P(-5, 4) $$ Para hallar la ecuación, se usa el centro y el extremo del diámetro para calcular el otro extremo y luego se aplica la fórmula de la circunferencia.

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