Quelle est la formule pour calculer la somme d'une série géométrique infinie ?

La formule pour calculer la somme \( S \) d'une série géométrique infinie est la suivante : \[ S = \frac{a}{1 - r} \] **Où :** - \( a \) représente le premier terme de la série. - \( r \) est la raison de la série géométrique. **Condition :** - La formule est valide uniquement si la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à 1, c’est-à-dire \( |r| < 1 \). **Explication :** Une série géométrique infinie converge vers une somme finie seulement si les termes successifs deviennent de plus en plus petits, ce qui se produit lorsque \( |r| < 1 \). Si \( |r| \geq 1 \), la série diverge et la somme n'est pas définie. **Exemple :** Supposons une série géométrique avec \( a = 5 \) et \( r = \frac{1}{2} \). La somme de la série infinie serait : \[ S = \frac{5}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10 \] Ainsi, la somme de la série géométrique infinie est 10.