3 (a) \( 2023: \) If \( y \propto x \) and \( y=5 \) when \( x=15 \), Find the value of \( x \) when \( y=3 \) (b) If \( y \) varies inversely with \( x^{2} \) and \( x=3 \) when \( y=4 \), Find: [1] The relation between \( y \) and \( x \) [2] The value of \( x \) when \( y=9 \) (C) If \( a, b, c \) and \( d \) are proportion quantities, then prove that : \( \frac{a}{b}+2 c \) \( b+2 d \)

### الحل #### (أ) إذا كان \( y \) يتناسب طردياً مع \( x \) و \( y = 5 \) عندما \( x = 15 \)، فاحسب قيمة \( x \) عندما \( y = 3 \). **الحل:** \[ y = kx \\ 5 = k \times 15 \Rightarrow k = \frac{1}{3} \\ 3 = \frac{1}{3}x \Rightarrow x = 9 \] **إذن، قيمة \( x \) هي 9.** --- #### (ب) إذا كان \( y \) يتناسب عكسياً مع \( x^2 \) و \( x = 3 \) عندما \( y = 4 \)، فاحسب: ##### [1] العلاقة بين \( y \) و \( x \) ##### [2] قيمة \( x \) عندما \( y = 9 \) **الحل:** ##### [1] العلاقة بين \( y \) و \( x \): \[ y = \frac{36}{x^2} \] ##### [2] قيمة \( x \) عندما \( y = 9 \): \[ 9 = \frac{36}{x^2} \Rightarrow x = 2 \] **إذن، قيمة \( x \) هي 2.** --- #### (ج) إذا كانت الكميات \( a, b, c, d \) متناسبة، فابرهن على أن: \[ \frac{a + 2c}{b + 2d} = \frac{a}{b} \] **الحل:** \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \\ a + 2c = b \times k + 2d \times k = k(b + 2d) \\ \frac{a + 2c}{b + 2d} = \frac{k(b + 2d)}{b + 2d} = k = \frac{a}{b} \] **وبالتالي، ثبت أن:** \[ \frac{a + 2c}{b + 2d} = \frac{a}{b} \]