4. Найти \( d y \), если \( y=\arcsin e^{-x} \). 5. Исследовать функцию \( y=\frac{4 x}{(x+1)^{2}} \) и построить ге график.

**4. Calcul de \( dy \) pour \( y = \arcsin(e^{-x}) \)** Pour trouver \( dy \), nous utilisons la règle de dérivation en chaîne. 1. **Identifions les fonctions imbriquées :** - \( u = e^{-x} \) - \( y = \arcsin(u) \) 2. **Dérivées :** - \( \frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \) - \( \frac{du}{dx} = -e^{-x} \) 3. **Appliquons la règle de la chaîne :** \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - e^{-2x}}} \cdot (-e^{-x}) = \frac{-e^{-x}}{\sqrt{1 - e^{-2x}}} \] 4. **Donc, la différentielle \( dy \) est :** \[ dy = \frac{-e^{-x}}{\sqrt{1 - e^{-2x}}} dx \] --- **5. Étude de la fonction \( y = \frac{4x}{(x + 1)^2} \) et tracé de son graphique** **a. Domaine de définition :** - \( x \neq -1 \) (pour éviter le dénominateur nul). **b. Asymptotes :** - **Asymptote verticale :** \( x = -1 \). - **Asymptote horizontale :** \( y = 0 \) (limite quand \( x \to \pm\infty \)). **c. Points critiques :** - **Première dérivée :** \[ y' = \frac{4(1 - x)}{(x + 1)^3} \] - **Point de maximum local :** \( x = 1 \). **d. Tableau de variations :** | \( x \) | \( -\infty \) | | \( -1 \) | | \( 1 \) | | \( +\infty \) | |------------------|---------------|------|---------------|------|-----------------|------|---------------| | **Signe de \( y' \)** | | ++ | | | -- | | | | **Variations de \( y \)** | \(\nearrow\) | | \(-1, \text{ asymptote verticale}\) | | \( \text{Maximum} \) | \(\searrow\) | | **e. Tracé du graphique :** - **Asymptotes :** \( x = -1 \) et \( y = 0 \). - **Point d'intersection** à l'origine (0, 0). - **Maximum local** en \( x = 1 \). - **Comportement aux extrémités :** - Pour \( x \to -1^- \), \( y \to +\infty \). - Pour \( x \to -1^+ \), \( y \to +\infty \). - Pour \( x \to +\infty \), \( y \to 0 \). **Graphique de la fonction :**  *(Remplacez cette URL par un graphique approprié si nécessaire.)*