Soit \( x \) un nombre réel. 1. (a) Montrer que : \( \cos (\arctan (x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \). (b) Déduire que \( : \sin (\arctan (x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \). 2. (a) Montrer que pour \( x>0: \arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2} \). (b) Calculer la limite : \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x}\left(\arctan \left(\frac{1}{x}\right)-\frac{\pi}{2}\right) \). 3. (a) Montrer que pour tout réel \( t \geq 0: t-\frac{t^{3}}{3} \leq \arctan (t) \leq t \). (b) Calculer la limite : \( \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(1-x \arctan \left(\frac{1}{x}\right)\right) \).

Partie I : Théorème de Relèvement angulaire On donne \( g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{C}^{*} \) de classe \( C^{k}, k \geq 2 \) 1. Justifier l'existence d'une primitive \( A \) de \( \frac{g^{\prime}}{g} \), et montrer que \( \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{C}, t \mapsto g(t) e^{-A(t)} \) est constante. 2. On pose \( g(t) e^{-A(t)}=K_{0} \in \mathbb{C}^{*} \), en écrivant la fonction \( A \) sous la forme \( A=B+\mathrm{i} C \), où \( B \) et \( C \) sont des fonctions à valeurs réelles et \( K_{0}=r_{0} e^{i \alpha} \), justifier qu'existent \( r \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}\right) \) et \( \theta \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right) \) tels que : \[ \forall t \geq 0, g(t)=r(t) e^{i \theta(t)} \]

\( f ( x ) = x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } \rightarrow f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( - 1 ) , f ( \frac { 3 } { 2 } ) \)

The area of a rectangular cross-section of a solid is given by the dimensions in terms of a linear function: width = \(x\) and height = \(3 - x\) for \(0 \leq x \leq 3\). Calculate the volume of the solid when these rectangles are stacked from \(x=0\) to \(x=3\).

- Derivative of \( \tan x \) Solution

On considère l'équation différentielle \[ (E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \] On admet le théorème de Cauchy-Lipschitz Pour tout \( \left(t_{0}, y_{0}, y_{0}^{\prime}\right) \in \mathbb{R}^{3} \), il existe une unique solution de \( (E) \) vérifiant : \( y\left(t_{0}\right)=y_{0} \) et \( y^{\prime}\left(t_{0}\right)=y_{0}^{\prime} \) Question : Justifier que si \( y \) est une solution de \( (E) \) vérifiant \( y\left(t_{0}\right)=y^{\prime}\left(t_{0}\right)=0 \), alors \( y \) est nulle Partie I : Théorème de Relèvement anominam