Esercizio 13.5 Si consideri l'applicazione \( F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) tale che \[ F(x, y, z)=(x-y, z) . \] Determinare la controimmagine di \( (2,2) \) sotto l'azione di \( F \). (i) Determinare una base e la dimensione di \( \operatorname{Im} F \) e di Ker \( F \). (ii) Calcolare la dimensione dell'immagine del sottospazio \( U=\mathcal{L}((1,0,0),(0,2,0) \). Svolgimento \( \{(2+t, t, 2) \mid t \in \mathbb{R}\} \). Risolvendo il relativo sistema si trovano infinite soluzioni date da

**Soluzione** Consideriamo l'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) definita da \[ F(x, y, z) = (x - y, z). \] ### (i) Determinare una base e la dimensione di \( \operatorname{Im} F \) e di \( \ker F \). **Immagine di \( F \) (\( \operatorname{Im} F \)):** \[ \operatorname{Im} F = \{ (x - y, z) \mid x, y, z \in \mathbb{R} \} = \mathbb{R}^2. \] Base: \( \{ (1, 0), (0, 1) \} \) Dimensione: 2 **Nucleo di \( F \) (\( \ker F \)):** \[ \ker F = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y = 0 \text{ e } z = 0 \} = \{ y(1, 1, 0) \mid y \in \mathbb{R} \}. \] Base: \( \{ (1, 1, 0) \} \) Dimensione: 1 ### (ii) Calcolare la dimensione dell'immagine del sottospazio \( U = \mathcal{L} \{ (1, 0, 0), (0, 2, 0) \} \). **Sottospazio \( U \):** \[ U = \{ y(1, 0, 0) + z(0, 2, 0) \mid y, z \in \mathbb{R} \}. \] Dimensione: 2 **Immagine di \( U \) attraverso \( F \):** \[ F(U) = \{ F(y(1, 0, 0)) + F(z(0, 2, 0)) \} = \{ (y, 0) + (-2z, 0) \} = \{ (y - 2z, 0) \mid y, z \in \mathbb{R} \}. \] Dimensione: 1 **Riassunto:** - **Immagine di \( F \):** Base \( \{ (1, 0), (0, 1) \} \), Dimensione 2 - **Nucleo di \( F \):** Base \( \{ (1, 1, 0) \} \), Dimensione 1 - **Immagine di \( U \) attraverso \( F \):** Dimensione 1