Theorem 4.1.11: Sequential Criterion for Limits Let \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \) be a function and let \( c \) be a cluster point of \( A \). Then \( \left(\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L\right. \) if and only if for every sequence \( \left(x_{n}\right) \) in \( A \) converging to \( c \) (with \( x_{n} \neq c \) for all \( \left.n \in \mathbb{N}\right) \) the sequence \( \left(f\left(x_{n}\right)\right) \) converges to \( L \).

(10б) Дайте определение неявной функции двух переменных. Найдите частную произ водную по переменной х функции \( x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1 \).

3. (15б) Найдите полный дифференциал и полное приращение функции \( z=\sqrt{x y^{2}-y^{3}} \) точке \( A(2,1) \) при \( \Delta x=0,1 \) и \( \Delta y=0,2 \).

f \( y=\frac{1+x}{1-x} \), find \( \frac{d y}{d x} \)

\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 5 ^ { n } \cdot n ! } { n ^ { n } } = \)

7. (15б) Выясните, является ли функция \( z=\ln \left(x^{2}+y^{2}+2 y+1\right) \) решением уравнения \( \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0 \)