1. Etudier les congruences des puissances de 9 modulo 7 . 2. En déduire le reste de la division euclidienne de $$ 359^{1111} $$ par 7 .

Question

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1. **Étude des congruences des puissances de 9 modulo 7**

Pour étudier les congruences des puissances de 9 modulo 7, commençons par simplifier 9 modulo 7 :

$$
   9 \equiv 2 \pmod{7}
   $$

Ainsi, étudier $$ 9^n \mod 7 $$ revient à étudier $$ 2^n \mod 7 $$.

Calculons les premières puissances de 2 modulo 7 pour identifier un éventuel motif répétitif :

$$
   \begin{align*}
   2^1 &\equiv 2 \pmod{7} \
   2^2 &\equiv 4 \pmod{7} \
   2^3 &\equiv 8 \equiv 1 \pmod{7} \
   2^4 &\equiv 2^3 \times 2 \equiv 1 \times 2 \equiv 2 \pmod{7} \
   2^5 &\equiv 2^4 \times 2 \equiv 2 \times 2 \equiv 4 \pmod{7} \
   2^6 &\equiv 2^5 \times 2 \equiv 4 \times 2 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7} \
   \end{align*}
   $$

On observe que les puissances de 2 modulo 7 suivent un cycle de période 3 :

$$
   2^{3k} \equiv 1 \pmod{7}, \quad 2^{3k+1} \equiv 2 \pmod{7}, \quad 2^{3k+2} \equiv 4 \pmod{7}
   $$

Par conséquent, les congruences des puissances de 9 modulo 7 sont identiques à celles des puissances de 2 modulo 7 et se répètent tous les 3 exposants.

2. **Détermination du reste de la division euclidienne de $$ 359^{1111} $$ par 7**

Pour trouver le reste de $$ 359^{1111} $$ modulo 7, procédons par étapes :

- **Réduction de la base modulo 7 :**

$$
     359 \div 7 = 51 \times 7 + 2 \quad \Rightarrow \quad 359 \equiv 2 \pmod{7}
     $$

Donc,

$$
     359^{1111} \equiv 2^{1111} \pmod{7}
     $$

- **Simplification de l'exposant en utilisant la période trouvée précédemment (période 3) :**

Il est utile de déterminer le reste de la division de l'exposant par la période 3 :

$$
     1111 \div 3 = 370 \times 3 + 1 \quad \Rightarrow \quad 1111 \equiv 1 \pmod{3}
     $$

Ainsi,

$$
     2^{1111} = 2^{3 \times 370 + 1} = (2^3)^{370} \times 2^1 \equiv 1^{370} \times 2 \equiv 2 \pmod{7}
     $$

Par conséquent, le reste de la division euclidienne de $$ 359^{1111} $$ par 7 est **2**.
Le reste de la division euclidienne de $$ 359^{1111} $$ par 7 est **2**.

1. Etudier les congruences des puissances de 9 modulo 7 . 2. En déduire le reste de la division euclidienne de \( 359^{1111} \) par 7 .

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