E1 3131. Egyszzrúsítsúk a következz̄ kifejezést \( \cos ^{2}(\alpha+\beta)+\cos ^{2}(\alpha-\beta)-\cos 2 \alpha \cdot \cos 2 \beta \).

Egyszerűsítsük a következő kifejezést: \[ \cos^{2}(\alpha+\beta) + \cos^{2}(\alpha-\beta) - \cos 2\alpha \cdot \cos 2\beta \] **Lépésről lépésre való egyszerűsítés:** 1. **Használjuk a kvadratikus koszinusz képletét:** \[ \cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \] Alkalmazzuk ezt a képletet mindkét koszinusz négyzetére: \[ \cos^{2}(\alpha+\beta) = \frac{1 + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} \] \[ \cos^{2}(\alpha-\beta) = \frac{1 + \cos(2\alpha - 2\beta)}{2} \] 2. **Helyettesítsük vissza az eredeti kifejezésbe:** \[ \frac{1 + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} + \frac{1 + \cos(2\alpha - 2\beta)}{2} - \cos 2\alpha \cdot \cos 2\beta \] 3. **Összevonás:** \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\cos(2\alpha + 2\beta) + \cos(2\alpha - 2\beta)}{2} - \cos 2\alpha \cdot \cos 2\beta \] \[ = 1 + \frac{\cos(2\alpha + 2\beta) + \cos(2\alpha - 2\beta)}{2} - \cos 2\alpha \cdot \cos 2\beta \] 4. **Használjuk a koszinusz összeadás képletét:** \[ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \] Alkalmazzuk \(A = 2\alpha + 2\beta\) és \(B = 2\alpha - 2\beta\) esetén: \[ \cos(2\alpha + 2\beta) + \cos(2\alpha - 2\beta) = 2 \cos 2\alpha \cos 2\beta \] 5. **Helyettesítsük vissza:** \[ 1 + \frac{2 \cos 2\alpha \cos 2\beta}{2} - \cos 2\alpha \cdot \cos 2\beta \] \[ = 1 + \cos 2\alpha \cos 2\beta - \cos 2\alpha \cos 2\beta \] \[ = 1 \] **Végső eredmény:** \[ \cos^{2}(\alpha+\beta) + \cos^{2}(\alpha-\beta) - \cos 2\alpha \cdot \cos 2\beta = 1 \]