Exercice 9: Soit f la fonction définie par $$ \mathrm{f}(x)=\frac{2 x-3}{x+1} $$ 1. Quel est l'ensemble de définition D de la fonction f ? 2. Démontrer que pour tout réel $$ x $$ de $$ \mathrm{D}, \mathrm{f}(x)=2-\frac{5}{x+1} $$ 3. Calculer $$ \mathrm{f}(-3), \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) $$ et $$ \mathrm{f}(\sqrt{2}) $$. 4. Résoudre l'équation $$ \mathrm{f}(x)=5 $$

Question

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**Exercice 9**

Soit $$ f $$ la fonction définie par $$ \mathrm{f}(x) = \frac{2x - 3}{x + 1} $$.

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**1. Ensemble de définition $$ D $$ de la fonction $$ f $$**

L'ensemble de définition d'une fonction rationnelle consiste à exclure les valeurs de $$ x $$ qui annulent le dénominateur.

Le dénominateur est $$ x + 1 $$.

$$ x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 $$

Ainsi, l'ensemble de définition $$ D $$ de la fonction $$ f $$ est :

$$ D = \mathbb{R} \setminus \{ -1 \} $$

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**2. Démontrer que $$ \forall x \in D, \ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} $$**

Pour exprimer $$ f(x) $$ sous la forme souhaitée, procédons à une division polynomiale ou à une manipulation algébrique.

$$ \mathrm{f}(x) = \frac{2x - 3}{x + 1} $$

On peut réécrire le numérateur pour faciliter la séparation :

$$ 2x - 3 = 2(x + 1) - 5 $$

En substituant ceci dans l'expression de $$ f(x) $$ :

$$ \mathrm{f}(x) = \frac{2(x + 1) - 5}{x + 1} = \frac{2(x + 1)}{x + 1} - \frac{5}{x + 1} $$

Simplifions le premier terme :

$$ \frac{2(x + 1)}{x + 1} = 2 $$

Ainsi,

$$ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} $$

Ce qui démontre que :

$$ \forall x \in D, \ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} $$

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**3. Calculer $$ \mathrm{f}(-3) $$, $$ \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) $$ et $$ \mathrm{f}(\sqrt{2}) $$.**

a) Calcul de $$ \mathrm{f}(-3) $$ :

$$ \mathrm{f}(-3) = \frac{2(-3) - 3}{-3 + 1} = \frac{-6 - 3}{-2} = \frac{-9}{-2} = \frac{9}{2} $$

b) Calcul de $$ \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) $$ :

$$ \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right) - 3}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{1 - 3}{\frac{3}{2}} = \frac{-2}{\frac{3}{2}} = -2 \times \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} $$

c) Calcul de $$ \mathrm{f}(\sqrt{2}) $$ :

$$ \mathrm{f}(\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 1} $$

Il est possible de rationaliser le dénominateur :

$$ \mathrm{f}(\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(2\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} $$

Calculons le numérateur et le dénominateur séparément :

Numérateur :

$$ (2\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cdot 1 - 3 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 1 $$
$$ = 2 \times 2 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3 $$
$$ = 4 + 3 - 5\sqrt{2} $$
$$ = 7 - 5\sqrt{2} $$

Dénominateur :

$$ (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 $$

Ainsi,

$$ \mathrm{f}(\sqrt{2}) = \frac{7 - 5\sqrt{2}}{1} = 7 - 5\sqrt{2} $$

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**4. Résoudre l'équation $$ \mathrm{f}(x) = 5 $$**

Nous cherchons les réels $$ x $$ dans $$ D $$ tels que :

$$ \frac{2x - 3}{x + 1} = 5 $$

Résolvons l'équation :

$$ \frac{2x - 3}{x + 1} = 5 $$

Multiplions les deux côtés par $$ x + 1 $$ (en rappelant que $$ x \neq -1 $$) :

$$ 2x - 3 = 5(x + 1) $$
$$ 2x - 3 = 5x + 5 $$

Isolons les termes en $$ x $$ d'un côté et constants de l'autre :

$$ 2x - 5x = 5 + 3 $$
$$ -3x = 8 $$
$$ x = -\frac{8}{3} $$

Vérifions que $$ x = -\frac{8}{3} $$ appartient à $$ D $$. En effet, $$ -\frac{8}{3} \neq -1 $$.

Ainsi, la solution de l'équation est :

$$ x = -\frac{8}{3} $$

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**Exercice 9** Soit $$ f $$ la fonction définie par $$ \mathrm{f}(x) = \frac{2x - 3}{x + 1} $$. --- **1. Ensemble de définition $$ D $$ de la fonction $$ f $$** L'ensemble de définition $$ D $$ est $$ \mathbb{R} \setminus \{ -1 \} $$. --- **2. Démontrer que $$ \forall x \in D, \ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} $$** $$ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} $$ --- **3. Calculer $$ \mathrm{f}(-3) $$, $$ \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) $$ et $$ \mathrm{f}(\sqrt{2}) $$.** a) $$ \mathrm{f}(-3) = \frac{9}{2} $$ b) $$ \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{3} $$ c) $$ \mathrm{f}(\sqrt{2}) = 7 - 5\sqrt{2} $$ --- **4. Résoudre l'équation $$ \mathrm{f}(x) = 5 $$** La solution est $$ x = -\frac{8}{3} $$.

Exercice 9: Soit f la fonction définie par

Quel est l’ensemble de définition D de la fonction f ?

Démontrer que pour tout réel de

Calculer et .

Résoudre l’équation

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Exercice 9: Soit f la fonction définie par Quel est l’ensemble de définition D de la fonction f ? Démontrer que pour tout réel de Calculer et . Résoudre l’équation