Answer
**Exercice 9**
Soit \( f \) la fonction définie par \( \mathrm{f}(x) = \frac{2x - 3}{x + 1} \).
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**1. Ensemble de définition \( D \) de la fonction \( f \)**
L'ensemble de définition \( D \) est \( \mathbb{R} \setminus \{ -1 \} \).
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**2. Démontrer que \( \forall x \in D, \ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} \)**
\[ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} \]
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**3. Calculer \( \mathrm{f}(-3) \), \( \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) \) et \( \mathrm{f}(\sqrt{2}) \).**
a) \( \mathrm{f}(-3) = \frac{9}{2} \)
b) \( \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{3} \)
c) \( \mathrm{f}(\sqrt{2}) = 7 - 5\sqrt{2} \)
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**4. Résoudre l'équation \( \mathrm{f}(x) = 5 \)**
La solution est \( x = -\frac{8}{3} \).
Solution
**Exercice 9**
Soit \( f \) la fonction définie par \( \mathrm{f}(x) = \frac{2x - 3}{x + 1} \).
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**1. Ensemble de définition \( D \) de la fonction \( f \)**
L'ensemble de définition d'une fonction rationnelle consiste à exclure les valeurs de \( x \) qui annulent le dénominateur.
Le dénominateur est \( x + 1 \).
\[ x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 \]
Ainsi, l'ensemble de définition \( D \) de la fonction \( f \) est :
\[ D = \mathbb{R} \setminus \{ -1 \} \]
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**2. Démontrer que \( \forall x \in D, \ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} \)**
Pour exprimer \( f(x) \) sous la forme souhaitée, procédons à une division polynomiale ou à une manipulation algébrique.
\[ \mathrm{f}(x) = \frac{2x - 3}{x + 1} \]
On peut réécrire le numérateur pour faciliter la séparation :
\[ 2x - 3 = 2(x + 1) - 5 \]
En substituant ceci dans l'expression de \( f(x) \) :
\[ \mathrm{f}(x) = \frac{2(x + 1) - 5}{x + 1} = \frac{2(x + 1)}{x + 1} - \frac{5}{x + 1} \]
Simplifions le premier terme :
\[ \frac{2(x + 1)}{x + 1} = 2 \]
Ainsi,
\[ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} \]
Ce qui démontre que :
\[ \forall x \in D, \ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} \]
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**3. Calculer \( \mathrm{f}(-3) \), \( \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) \) et \( \mathrm{f}(\sqrt{2}) \).**
a) Calcul de \( \mathrm{f}(-3) \) :
\[ \mathrm{f}(-3) = \frac{2(-3) - 3}{-3 + 1} = \frac{-6 - 3}{-2} = \frac{-9}{-2} = \frac{9}{2} \]
b) Calcul de \( \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) \) :
\[ \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right) - 3}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{1 - 3}{\frac{3}{2}} = \frac{-2}{\frac{3}{2}} = -2 \times \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} \]
c) Calcul de \( \mathrm{f}(\sqrt{2}) \) :
\[ \mathrm{f}(\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 1} \]
Il est possible de rationaliser le dénominateur :
\[ \mathrm{f}(\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(2\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} \]
Calculons le numérateur et le dénominateur séparément :
Numérateur :
\[ (2\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cdot 1 - 3 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 1 \]
\[ = 2 \times 2 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3 \]
\[ = 4 + 3 - 5\sqrt{2} \]
\[ = 7 - 5\sqrt{2} \]
Dénominateur :
\[ (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \]
Ainsi,
\[ \mathrm{f}(\sqrt{2}) = \frac{7 - 5\sqrt{2}}{1} = 7 - 5\sqrt{2} \]
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**4. Résoudre l'équation \( \mathrm{f}(x) = 5 \)**
Nous cherchons les réels \( x \) dans \( D \) tels que :
\[ \frac{2x - 3}{x + 1} = 5 \]
Résolvons l'équation :
\[ \frac{2x - 3}{x + 1} = 5 \]
Multiplions les deux côtés par \( x + 1 \) (en rappelant que \( x \neq -1 \)) :
\[ 2x - 3 = 5(x + 1) \]
\[ 2x - 3 = 5x + 5 \]
Isolons les termes en \( x \) d'un côté et constants de l'autre :
\[ 2x - 5x = 5 + 3 \]
\[ -3x = 8 \]
\[ x = -\frac{8}{3} \]
Vérifions que \( x = -\frac{8}{3} \) appartient à \( D \). En effet, \( -\frac{8}{3} \neq -1 \).
Ainsi, la solution de l'équation est :
\[ x = -\frac{8}{3} \]
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