IERCICE $$ 2(4,5 $$ points $$ ) $$ In donne $$ m=2^{3} imes 3 imes 5 imes 7^{2} $$ et $$ p=2^{2} imes 3^{2} imes 5^{2} imes 11 $$. 2-Calculer : $$ P P C M(m ; p) $$ puis $$ P G C D(m ; p) $$ 3- Que constate-t-on? 4- Ecrire m et $$ p $$ sous forme de nombres entiers naturels. 5- On considère la fraction $$ A=\frac{5880}{9900} $$. a- Par quel nombre doit-on diviser le numérateur et le dénominateur pour rendre $$ A $$ b- Ecrire la fraction irréductible correspondante.

Question

IERCICE $$ 2(4,5 $$ points $$ ) $$ In donne $$ m=2^{3} 	imes 3 	imes 5 	imes 7^{2} $$ et $$ p=2^{2} 	imes 3^{2} 	imes 5^{2} 	imes 11 $$. 2-Calculer : $$ P P C M(m ; p) $$ puis $$ P G C D(m ; p) $$ 3- Que constate-t-on? 4- Ecrire m et $$ p $$ sous forme de nombres entiers naturels. 5- On considère la fraction $$ A=\frac{5880}{9900} $$. a- Par quel nombre doit-on diviser le numérateur et le dénominateur pour rendre $$ A $$ b- Ecrire la fraction irréductible correspondante.

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**2. Calculer : PPCM(m ; p) puis PGCD(m ; p)**

Pour calculer le PPCM et le PGCD de $$ m $$ et $$ p $$, utilisons les décompositions en facteurs premiers données :

$$
m = 2^{3} \times 3^{1} \times 5^{1} \times 7^{2}
$$
$$
p = 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 11^{1}
$$

**a) Calcul du PPCM(m ; p)**

Le PPCM prend, pour chaque facteur premier, l'exposant maximal présent dans l'une ou l'autre des décompositions.

$$
PPCM(m ; p) = 2^{\max(3,2)} \times 3^{\max(1,2)} \times 5^{\max(1,2)} \times 7^{\max(2,0)} \times 11^{\max(0,1)}
$$
$$
PPCM(m ; p) = 2^{3} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11^{1}
$$

**b) Calcul du PGCD(m ; p)**

Le PGCD prend, pour chaque facteur premier, l'exposant minimal présent dans les deux décompositions.

$$
PGCD(m ; p) = 2^{\min(3,2)} \times 3^{\min(1,2)} \times 5^{\min(1,2)} \times 7^{\min(2,0)} \times 11^{\min(0,1)}
$$
$$
PGCD(m ; p) = 2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1} \times 7^{0} \times 11^{0}
$$
$$
PGCD(m ; p) = 2^{2} \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60
$$

**3. Que constate-t-on ?**

On observe que :

$$
m \times p = PGCD(m ; p) \times PPCM(m ; p)
$$

En effet :

$$
m = 2^{3} \times 3 \times 5 \times 7^{2}
$$
$$
p = 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 11
$$
$$
m \times p = 2^{3+2} \times 3^{1+2} \times 5^{1+2} \times 7^{2} \times 11 = 2^{5} \times 3^{3} \times 5^{3} \times 7^{2} \times 11
$$

$$
PGCD(m ; p) \times PPCM(m ; p) = (2^{2} \times 3 \times 5) \times (2^{3} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11) = 2^{5} \times 3^{3} \times 5^{3} \times 7^{2} \times 11
$$

Ainsi, $$ m \times p = PGCD(m ; p) \times PPCM(m ; p) $$.

**4. Écrire $$ m $$ et $$ p $$ sous forme de nombres entiers naturels**

Calculons les valeurs numériques de $$ m $$ et $$ p $$ à partir de leurs décompositions en facteurs premiers.

$$
m = 2^{3} \times 3 \times 5 \times 7^{2} = 8 \times 3 \times 5 \times 49 = 8 \times 3 = 24 \times 5 = 120 \times 49 = 5880
$$
$$
p = 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 11 = 4 \times 9 \times 25 \times 11 = 4 \times 9 = 36 \times 25 = 900 \times 11 = 9900
$$

Donc,

$$
m = 5880 \quad \text{et} \quad p = 9900
$$

**5. On considère la fraction $$ A = \frac{5880}{9900} $$.**

**a) Par quel nombre doit-on diviser le numérateur et le dénominateur pour rendre $$ A $$ irréductible ?**

Pour simplifier la fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

D'après la question 2, nous avons trouvé que :

$$
PGCD(5880, 9900) = 60
$$

Donc, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par 60.

**b) Écrire la fraction irréductible correspondante**

Divisons le numérateur et le dénominateur par 60 :

$$
A = \frac{5880}{9900} = \frac{5880 \div 60}{9900 \div 60} = \frac{98}{165}
$$

La fraction irréductible est donc :

$$
A = \frac{98}{165}
$$
**2. Calculer : PPCM(m ; p) puis PGCD(m ; p)** - **PPCM(m ; p):** $$ 2^{3} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11 = 5880 \times 9900 = 58,800,000 $$ - **PGCD(m ; p):** 60 **3. Que constate-t-on ?** On observe que $$ m \times p = PGCD(m ; p) \times PPCM(m ; p) $$. **4. Écrire $$ m $$ et $$ p $$ sous forme de nombres entiers naturels** $$ m = 5880 \quad \text{et} \quad p = 9900 $$ **5. Simplifier la fraction $$ A = \frac{5880}{9900} $$** - **a) Diviser par 60:** $$ \frac{5880 \div 60}{9900 \div 60} = \frac{98}{165} $$ - **b) Fraction irréductible:** $$ \frac{98}{165} $$

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