$$ 1^{a} $$ Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética $$ \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) $$ sabe-se que $$ a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 $$ e que $$ a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 $$. Determine: b)(0,2) se o número 3982 pertence à progressão. Em caso afirmativo, indique sua posição na PA.

Question

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Para determinar se o número **3982** pertence à progressão aritmética dada e, em caso afirmativo, identificar sua posição, seguiremos os seguintes passos:

### 1. **Determinação da expressão geral da PA**

Sabemos que em uma progressão aritmética (PA), o termo geral pode ser expresso por:
$$
a_n = a_1 + (n-1)d
$$
onde:
- $$ a_n $$ é o n-ésimo termo,
- $$ a_1 $$ é o primeiro termo,
- $$ d $$ é a razão da PA,
- $$ n $$ é a posição do termo na PA.

### 2. **Uso das informações dadas para encontrar $$ a_1 $$ e $$ d $$**

Temos as seguintes equações baseadas nos termos fornecidos:

1. **Primeira equação:**
$$
a_3 + a_5 + a_9 = 31
$$
Substituindo:
$$
(a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 31 \
3a_1 + 14d = 31 \quad \text{(Equação 1)}
$$

2. **Segunda equação:**
$$
a_2 + a_4 + a_7 + a_{12} = 53
$$
Substituindo:
$$
(a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 11d) = 53 \
4a_1 + 21d = 53 \quad \text{(Equação 2)}
$$

### 3. **Resolução do sistema de equações**

Resolvendo o sistema formado pela Equação 1 e Equação 2:

- **Multiplicando a Equação 1 por 4:**
$$
12a_1 + 56d = 124
$$
  
- **Multiplicando a Equação 2 por 3:**
$$
12a_1 + 63d = 159
$$
  
- **Subtraindo as duas equações:**
$$
(12a_1 + 63d) - (12a_1 + 56d) = 159 - 124 \
7d = 35 \
d = 5
$$
  
- **Substituindo $$ d = 5 $$ na Equação 1:**
$$
3a_1 + 14(5) = 31 \
3a_1 + 70 = 31 \
3a_1 = -39 \
a_1 = -13
$$

### 4. **Expressão geral da PA**

Com $$ a_1 = -13 $$ e $$ d = 5 $$, a expressão geral da PA é:
$$
a_n = -13 + (n-1) \times 5 = 5n - 18
$$

### 5. **Verificação se 3982 pertence à PA**

Para verificar se **3982** pertence à PA, resolvemos para $$ n $$:
$$
5n - 18 = 3982 \
5n = 3982 + 18 \
5n = 4000 \
n = \frac{4000}{5} \
n = 800
$$

Como $$ n = 800 $$ é um número inteiro positivo, o número **3982** **pertence** à progressão aritmética e está na **800ª posição**.

**Resposta Final:**
Sim, o número 3982 está na progressão e ocupa a 800ª posição.
3982 is in the 800th position of the arithmetic progression.

Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética sabe-se que
e que . Determine:
b)(0,2) se o número 3982 pertence à progressão. Em caso afirmativo, indique sua posição na PA.

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