\( 1^{a} \) Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) \) sabe-se que \( a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 \) e que \( a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 \). Determine: b)(0,2) se o número 3982 pertence à progressão. Em caso afirmativo, indique sua posição na PA.

Para resolver a questão, vamos começar representando os termos da progressão aritmética (PA) de forma geral. Se \( a_1 \) é o primeiro termo e \( d \) é a razão da PA, os termos podem ser expressos como: - \( a_3 = a_1 + 2d \) - \( a_5 = a_1 + 4d \) - \( a_9 = a_1 + 8d \) Substituindo na primeira equação \( a_3 + a_5 + a_9 = 31 \), temos: \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 31 \] \[ 3a_1 + 14d = 31 \quad \text{(1)} \] Agora, para a segunda equação, substituindo os termos: - \( a_2 = a_1 + d \) - \( a_4 = a_1 + 3d \) - \( a_7 = a_1 + 6d \) - \( a_{12} = a_1 + 11d \) A equação fica: \[ (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 11d) = 53 \] \[ 4a_1 + 21d = 53 \quad \text{(2)} \] Agora temos um sistema de equações: 1. \( 3a_1 + 14d = 31 \) 2. \( 4a_1 + 21d = 53 \) Vamos resolver esse sistema. Vamos multiplicar a equação (1) por 4 e a equação (2) por 3 para eliminarmos \( a_1 \): \[ 12a_1 + 56d = 124 \quad \text{(3)} \] \[ 12a_1 + 63d = 159 \quad \text{(4)} \] Subtraindo a equação (3) da (4): \[ 63d - 56d = 159 - 124 \] \[ 7d = 35 \Rightarrow d = 5 \] Substituindo o valor de \( d \) na equação (1): \[ 3a_1 + 14(5) = 31 \] \[ 3a_1 + 70 = 31 \Rightarrow 3a_1 = 31 - 70 \Rightarrow 3a_1 = -39 \Rightarrow a_1 = -13 \] Agora temos os valores de \( a_1 = -13 \) e \( d = 5 \). A fórmula do n-ésimo termo da PA é: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Para determinar se 3982 pertence à progressão, precisamos verificar se: \[ a_n = 3982 \] Assim, substituindo o valor de \( a_n \): \[ 3982 = -13 + (n-1) \cdot 5 \] Resolvendo: \[ 3982 + 13 = (n-1) \cdot 5 \] \[ 3995 = (n-1) \cdot 5 \] \[ n-1 = \frac{3995}{5} = 799 \Rightarrow n = 800 \] Portanto, o número 3982 pertence à progressão e sua posição na PA é n = 800.