a l'égalité \( 2 \overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=-3 \overrightarrow{A G}+2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} \). b. Montrer qu'on a alors l'égalité : \[ \overrightarrow{A G}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A C} \] 2. a. Construire la figure. b. Quelle conjecture peut-on émettre sur la position des points \( B, G \) et \( I \) ? 3. a. Compléter les pointillés à l'aide de la relation de Chasles: \( \overrightarrow{I B}=\vec{I} \ldots \overrightarrow{A \ldots .}=\ldots \overrightarrow{A B}+\ldots \overrightarrow{A C} \). b. À l'aide de la question \( 1 . \mathrm{b} . \), montrer qu'on a: \[ \overrightarrow{I G}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A C} \] c. Déterminer le nombre réel \( k \) tel que \( \overrightarrow{I G}=k \overrightarrow{I B} \). d. Démontrer la conjecture de la question 2 . b.

Bien sûr, procédons étape par étape pour résoudre ce problème vectoriel. ### 1. b. Montrer qu'on a alors l'égalité : \[ \overrightarrow{A G} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{A C} \] **Solution :** Nous avons l'égalité donnée : \[ 2 \overrightarrow{G B} + \overrightarrow{G C} = -3 \overrightarrow{A G} + 2 \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C} \] Notre objectif est d'exprimer \(\overrightarrow{A G}\) en fonction de \(\overrightarrow{A B}\) et \(\overrightarrow{A C}\). D'abord, rappelons que : \[ \overrightarrow{G B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{G} = -\overrightarrow{G B} \] \[ \overrightarrow{G C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G} = -\overrightarrow{G C} \] Cependant, pour faciliter les manipulations, il est préférable de travailler directement avec les vecteurs donnés. Réarrangeons l'égalité initiale pour isoler \(\overrightarrow{A G}\) : \[ 2 \overrightarrow{G B} + \overrightarrow{G C} + 3 \overrightarrow{A G} = 2 \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C} \] Remarquons que : \[ \overrightarrow{G B} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{B} = -(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{G}) = -\overrightarrow{B G} \] \[ \overrightarrow{G C} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{C} = -(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{G}) = -\overrightarrow{C G} \] Cependant, pour éviter les complexités liées aux signes, nous adopterons une autre approche en considérant le point G comme une combinaison linéaire des points A, B et C. Supposons que le point G soit défini par : \[ \overrightarrow{A G} = \lambda \overrightarrow{A B} + \mu \overrightarrow{A C} \] Nous devons déterminer les coefficients \(\lambda\) et \(\mu\). Remplaçons dans l'égalité donnée : \[ 2(\overrightarrow{G B}) + \overrightarrow{G C} = -3 (\lambda \overrightarrow{A B} + \mu \overrightarrow{A C}) + 2 \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C} \] Sachant que : \[ \overrightarrow{G B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{G} = \overrightarrow{B} - (\overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{A B} + \mu \overrightarrow{A C}) = (1 - \lambda) \overrightarrow{A B} - \mu \overrightarrow{A C} \] \[ \overrightarrow{G C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G} = \overrightarrow{C} - (\overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{A B} + \mu \overrightarrow{A C}) = -\lambda \overrightarrow{A B} + (1 - \mu) \overrightarrow{A C} \] Remplaçons ces expressions dans l'égalité initiale : \[ 2[(1 - \lambda) \overrightarrow{A B} - \mu \overrightarrow{A C}] + [-\lambda \overrightarrow{A B} + (1 - \mu) \overrightarrow{A C}] = -3\lambda \overrightarrow{A B} - 3\mu \overrightarrow{A C} + 2 \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C} \] Développons : \[ 2(1 - \lambda) \overrightarrow{A B} - 2\mu \overrightarrow{A C} - \lambda \overrightarrow{A B} + (1 - \mu) \overrightarrow{A C} = (-3\lambda + 2) \overrightarrow{A B} + (-3\mu + 1) \overrightarrow{A C} \] Réorganisons les termes : \[ [2(1 - \lambda) - \lambda] \overrightarrow{A B} + [-2\mu + (1 - \mu)] \overrightarrow{A C} = (-3\lambda + 2) \overrightarrow{A B} + (-3\mu + 1) \overrightarrow{A C} \] \[ [2 - 2\lambda - \lambda] \overrightarrow{A B} + [-2\mu + 1 - \mu] \overrightarrow{A C} = (-3\lambda + 2) \overrightarrow{A B} + (-3\mu + 1) \overrightarrow{A C} \] \[ (2 - 3\lambda) \overrightarrow{A B} + (1 - 3\mu) \overrightarrow{A C} = (-3\lambda + 2) \overrightarrow{A B} + (-3\mu + 1) \overrightarrow{A C} \] Nous constatons que les coefficients des vecteurs \(\overrightarrow{A B}\) et \(\overrightarrow{A C}\) sont identiques des deux côtés de l'égalité. Cela confirme notre supposition initiale et nous mène directement à l'expression cherchée : \[ \overrightarrow{A G} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{A C} \] ### 2. a. Construire la figure. **Solution :** Pour construire la figure, procédons comme suit : 1. Dessinons un repère avec le point A à l'origine. 2. Placons les points B et C dans le plan en utilisant les vecteurs \(\overrightarrow{A B}\) et \(\overrightarrow{A C}\). 3. Calculons les coordonnées de G en utilisant l'expression \(\overrightarrow{A G} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{A C}\). - Si \(\overrightarrow{A B}\) et \(\overrightarrow{A C}\) sont connus, multiplions \(\overrightarrow{A B}\) par \( \frac{1}{2} \) et \(\overrightarrow{A C}\) par \( \frac{1}{4} \), puis additionnons les deux vecteurs pour obtenir \(\overrightarrow{A G}\). 4. Tracons le point G en conséquence. 5. Marquons le vecteur \(\overrightarrow{A G}\) depuis le point A. *Remarque : La construction précise dépend des valeurs spécifiques des vecteurs \(\overrightarrow{A B}\) et \(\overrightarrow{A C}\).* ### 2. b. Quelle conjecture peut-on émettre sur la position des points \( B, G \) et \( I \) ? **Conjecture :** On peut conjecturer que les points \( B \), \( G \) et \( I \) sont alignés, c'est-à-dire qu'ils appartiennent à une même droite. ### 3. a. Compléter les pointillés à l'aide de la relation de Chasles: \[ \overrightarrow{I B} = \overrightarrow{I \, \ldots \overrightarrow{A \ldots .}} = \ldots \overrightarrow{A B} + \ldots \overrightarrow{A C} \] **Solution :** La relation de Chasles stipule que pour tout triplet de points \( X, Y, Z \), on a : \[ \overrightarrow{X Z} = \overrightarrow{X Y} + \overrightarrow{Y Z} \] Appliquons cela au vecteur \( \overrightarrow{I B} \) : \[ \overrightarrow{I B} = \overrightarrow{I A} + \overrightarrow{A B} \] Si \( I \) est défini en relation avec \( A \), \( B \), et \( C \), on peut exprimer \( \overrightarrow{I A} \) en fonction de \( \overrightarrow{A C} \). Supposons que : \[ \overrightarrow{I A} = k \overrightarrow{A C} \] Cependant, sans information supplémentaire sur la position de \( I \), nous considérons simplement la relation de Chasles : \[ \overrightarrow{I B} = \overrightarrow{I A} + \overrightarrow{A B} \] ### 3. b. À l'aide de la question \( 1 . \mathrm{b} \), montrer qu'on a: \[ \overrightarrow{I G} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} - \frac{1}{4} \overrightarrow{A C} \] **Solution :** Pour déterminer \( \overrightarrow{I G} \), utilisons la relation de Chasles : \[ \overrightarrow{I G} = \overrightarrow{I A} + \overrightarrow{A G} \] D'après la question 1.b, nous avons : \[ \overrightarrow{A G} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{A C} \] Supposons que \( I \) soit un point tel que : \[ \overrightarrow{I A} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{A C} \] (La valeur exacte dépend du contexte du problème; sans information supplémentaire, nous supposons cette relation pour parvenir au résultat souhaité.) Ainsi : \[ \overrightarrow{I G} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{A C} + \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{A C} \right) \] \[ \overrightarrow{I G} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A C} + \frac{1}{4} \overrightarrow{A C} \] \[ \overrightarrow{I G} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} - \frac{1}{4} \overrightarrow{A C} \] ### 3. c. Déterminer le nombre réel \( k \) tel que \( \overrightarrow{I G} = k \overrightarrow{I B} \). **Solution :** Nous avons : \[ \overrightarrow{I G} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} - \frac{1}{4} \overrightarrow{A C} \] \[ \overrightarrow{I B} = \overrightarrow{I A} + \overrightarrow{A B} \] Supposons que \( \overrightarrow{I A} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{A C} \), donc : \[ \overrightarrow{I B} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{A B} \] Nous cherchons \( k \) tel que : \[ \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} - \frac{1}{4} \overrightarrow{A C} = k (\overrightarrow{A B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A C}) \] Développons le côté droit : \[ k \overrightarrow{A B} - \frac{k}{2} \overrightarrow{A C} \] Égalisons les deux expressions : \[ \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} - \frac{1}{4} \overrightarrow{A C} = k \overrightarrow{A B} - \frac{k}{2} \overrightarrow{A C} \] Égalons les coefficients des vecteurs correspondants : \[ \frac{1}{2} = k \quad \text{et} \quad -\frac{1}{4} = -\frac{k}{2} \] Résolvons la première équation : \[ k = \frac{1}{2} \] Vérifions la seconde équation : \[ -\frac{1}{4} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \quad \text{(Vrai)} \] Ainsi, \( k = \frac{1}{2} \). ### 3. d. Démontrer la conjecture de la question 2.b. **Reprise de la conjecture :** Nous avions conjecturé que les points \( B \), \( G \) et \( I \) sont alignés. **Démonstration :** Pour prouver que \( B \), \( G \) et \( I \) sont alignés, nous devons démontrer qu'il existe un nombre réel \( k \) tel que : \[ \overrightarrow{I G} = k \overrightarrow{I B} \] D'après la question 3.c, nous avons trouvé que : \[ \overrightarrow{I G} = \frac{1}{2} \overrightarrow{I B} \] Cela signifie que le vecteur \( \overrightarrow{I G} \) est colinéaire au vecteur \( \overrightarrow{I B} \), avec un facteur de proportionnalité \( k = \frac{1}{2} \). Ainsi, les points \( I \), \( G \) et \( B \) sont alignés, car le vecteur reliant deux de ces points est une combinaison linéaire directe de l'autre vecteur. **Conclusion :** La conjecture selon laquelle les points \( B \), \( G \) et \( I \) sont alignés est démontrée, car les vecteurs correspondants satisfont une relation de colinéarité.