Hallar los autovalores reales $$ y $$ autovectores de $$ \mathbb{R}^{n}, y $$ una base de au- tovectores cuando sea posible, de las matrices: a) $$ \left(\begin{array}{rr}4 & 6 \ -3 & -5\end{array} ight) $$, b) $$ \left(\begin{array}{rr}5 & -1 \ -1 & 1\end{array} ight) $$, c) $$ \left.\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \ -2 & 3\end{array} ight), d ight)\left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & -1 \ 0 & -2 & 0 \ -1 & 0 & 0\end{array} ight) $$

Question

Hallar los autovalores reales $$ y $$ autovectores de $$ \mathbb{R}^{n}, y $$ una base de au- tovectores cuando sea posible, de las matrices: a) $$ \left(\begin{array}{rr}4 & 6 \ -3 & -5\end{array}ight) $$, b) $$ \left(\begin{array}{rr}5 & -1 \ -1 & 1\end{array}ight) $$, c) $$ \left.\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \ -2 & 3\end{array}ight), dight)\left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & -1 \ 0 & -2 & 0 \ -1 & 0 & 0\end{array}ight) $$

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Claro, procederemos a encontrar los autovalores reales $$ y $$, los autovectores correspondientes en $$ \mathbb{R}^{n} $$ y, cuando sea posible, una base de autovectores para cada una de las matrices dadas.

## a) Matriz $$ A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \ -3 & -5 \end{pmatrix} $$

### 1. Encontrar los autovalores ($$ y $$):
Resolviendo el polinomio característico $$ \det(A - yI) = 0 $$:

$$
\det\begin{pmatrix} 4 - y & 6 \ -3 & -5 - y \end{pmatrix} = (4 - y)(-5 - y) - (-3)(6) = y^2 + y - 2 = 0
$$

Resolviendo la ecuación cuadrática:

$$
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow y_1 = 1, \ y_2 = -2
$$

### 2. Encontrar los autovectores:

**Para $$ y = 1 $$:**

$$
(A - I)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \ -3 & -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \mathbf{0}
$$

Simplificando: $$ 3x + 6y = 0 \Rightarrow x = -2y $$

Autovector: $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \end{pmatrix}$$

**Para $$ y = -2 $$:**

$$
(A + 2I)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \ -3 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \mathbf{0}
$$

Simplificando: $$ 6x + 6y = 0 \Rightarrow x = -y $$

Autovector: $$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$$

### 3. Base de autovectores:
$$
\left\{ \begin{pmatrix} 2 \ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} \right\}
$$

---

## b) Matriz $$ B = \begin{pmatrix} 5 & -1 \ -1 & 1 \end{pmatrix} $$

### 1. Encontrar los autovalores ($$ y $$):
Polinomio característico:

$$
\det(B - yI) = \begin{vmatrix} 5 - y & -1 \ -1 & 1 - y \end{vmatrix} = (5 - y)(1 - y) - 1 = y^2 -6y +4 = 0
$$

Resolviendo la ecuación cuadrática:

$$
y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}
$$

Autovalores reales: $$ y_1 = 3 + \sqrt{5} $$, $$ y_2 = 3 - \sqrt{5} $$

### 2. Encontrar los autovectores:

**Para $$ y = 3 + \sqrt{5} $$:**

$$
(B - yI)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 5 - y & -1 \ -1 & 1 - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{5} & -1 \ -1 & -2 - \sqrt{5} \end{pmatrix}
$$

De la primera fila: $$ (2 - \sqrt{5})x - y = 0 \Rightarrow y = (2 - \sqrt{5})x $$

Autovector: $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 2 - \sqrt{5} \end{pmatrix}$$

**Para $$ y = 3 - \sqrt{5} $$:**

$$
(B - yI)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 5 - y & -1 \ -1 & 1 - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{5} & -1 \ -1 & -2 + \sqrt{5} \end{pmatrix}
$$

De la primera fila: $$ (2 + \sqrt{5})x - y = 0 \Rightarrow y = (2 + \sqrt{5})x $$

Autovector: $$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 2 + \sqrt{5} \end{pmatrix}$$

### 3. Base de autovectores:
$$
\left\{ \begin{pmatrix} 1 \ 2 - \sqrt{5} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \ 2 + \sqrt{5} \end{pmatrix} \right\}
$$

---

## c) Matriz $$ C = \begin{pmatrix} 1 & -2 \ -2 & 3 \end{pmatrix} $$

### 1. Encontrar los autovalores ($$ y $$):
Polinomio característico:

$$
\det(C - yI) = \begin{vmatrix} 1 - y & -2 \ -2 & 3 - y \end{vmatrix} = (1 - y)(3 - y) - 4 = y^2 -4y -1 = 0
$$

Resolviendo la ecuación cuadrática:

$$
y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}
$$

Autovalores reales: $$ y_1 = 2 + \sqrt{5} $$, $$ y_2 = 2 - \sqrt{5} $$

### 2. Encontrar los autovectores:

**Para $$ y = 2 + \sqrt{5} $$:**

$$
(C - yI)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 - y & -2 \ -2 & 3 - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - \sqrt{5} & -2 \ -2 & 1 - \sqrt{5} \end{pmatrix}
$$

De la primera fila: $$ (-1 - \sqrt{5})x - 2y = 0 \Rightarrow y = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} x $$

Autovector: $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \ -1 - \sqrt{5} \end{pmatrix}$$

**Para $$ y = 2 - \sqrt{5} $$:**

$$
(C - yI)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 - y & -2 \ -2 & 3 - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + \sqrt{5} & -2 \ -2 & 1 + \sqrt{5} \end{pmatrix}
$$

De la primera fila: $$ (-1 + \sqrt{5})x - 2y = 0 \Rightarrow y = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} x $$

Autovector: $$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \ -1 + \sqrt{5} \end{pmatrix}$$

### 3. Base de autovectores:
$$
\left\{ \begin{pmatrix} 2 \ -1 - \sqrt{5} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \ -1 + \sqrt{5} \end{pmatrix} \right\}
$$

---

## d) Matriz $$ D = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \ 0 & -2 & 0 \ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

### 1. Encontrar los autovalores ($$ y $$):
Calculamos el polinomio característico $$ \det(D - yI) = 0 $$:

$$
D - yI = \begin{pmatrix} 2 - y & 2 & -1 \ 0 & -2 - y & 0 \ -1 & 0 & -y \end{pmatrix}
$$

El determinante es:

$$
(2 - y)\left( (-2 - y)(-y) - 0 \right) - 2\left( 0 \cdot (-y) - 0 \cdot (-1) \right) + (-1)\left( 0 \cdot 0 - (-2 - y)(-1) \right)
$$

Simplificando:

$$
(2 - y)(2y + y^2) - 0 + (-1)(0 - (2 + y)) = (2 - y)(y^2 + 2y) + (2 + y) = 2y^2 + 4y - y^3 - 2y^2 + 2 + y = -y^3 + 5y + 2
$$

Resolviendo $$ -y^3 + 5y + 2 = 0 $$, multiplicando por -1:

$$
y^3 - 5y - 2 = 0
$$

Buscando raíces racionales, probamos $$ y = 2 $$:

$$
2^3 - 5(2) - 2 = 8 - 10 - 2 = -4 \neq 0
$$

Probamos $$ y = -1 $$:

$$
(-1)^3 -5(-1) -2 = -1 +5 -2 = 2 \neq 0
$$

Probamos $$ y = 1 $$:

$$
1 -5 -2 = -6 \neq 0
$$

Probamos $$ y = -2 $$:

$$
(-2)^3 -5(-2) -2 = -8 +10 -2 = 0
$$

Entonces, una raíz es $$ y = -2 $$. Factorizamos:

$$
y^3 -5y -2 = (y + 2)(y^2 -2y -1) = 0
$$

Resolviendo $$ y^2 -2y -1 = 0 $$:

$$
y = \frac{2 \pm \sqrt{4 +4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}
$$

Autovalores reales: $$ y_1 = -2 $$, $$ y_2 = 1 + \sqrt{2} $$, $$ y_3 = 1 - \sqrt{2} $$

### 2. Encontrar los autovectores:

**Para $$ y = -2 $$:**

$$
(D + 2I)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \ 0 & 0 & 0 \ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \mathbf{0}
$$

Sistema:
$$
4x + 2y - z = 0 \
- x + 2z = 0 \Rightarrow x = 2z
$$

Sustituyendo en la primera ecuación:

$$
4(2z) + 2y - z = 0 \Rightarrow 8z + 2y - z = 0 \Rightarrow 7z + 2y = 0 \Rightarrow y = -\frac{7}{2} z
$$

Autovector: $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \ -\frac{7}{2} \ 1 \end{pmatrix}$$

**Para $$ y = 1 + \sqrt{2} $$:**

$$
(D - yI)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 - (1 + \sqrt{2}) & 2 & -1 \ 0 & -2 - (1 + \sqrt{2}) & 0 \ -1 & 0 & - (1 + \sqrt{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - \sqrt{2} & 2 & -1 \ 0 & -3 - \sqrt{2} & 0 \ -1 & 0 & -1 - \sqrt{2} \end{pmatrix}
$$

Sistema:
$$
(1 - \sqrt{2})x + 2y - z = 0 \
-3 - \sqrt{2})y = 0 \Rightarrow y = 0 \
- x - (1 + \sqrt{2})z = 0 \Rightarrow x = - (1 + \sqrt{2}) z
$$

Sustituyendo $$ y = 0 $$ y $$ x = - (1 + \sqrt{2}) z $$ en la primera ecuación:

$$
(1 - \sqrt{2})(- (1 + \sqrt{2}) z) - z = 0 \Rightarrow [-(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) -1] z = 0
$$

Calculando:

$$
-(1 - 2) -1 = -(-1) -1 = 1 -1 = 0
$$

Autovector: $$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} - (1 + \sqrt{2}) \ 0 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - \sqrt{2} \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$$

**Para $$ y = 1 - \sqrt{2} $$:**

$$
(D - yI)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 - (1 - \sqrt{2}) & 2 & -1 \ 0 & -2 - (1 - \sqrt{2}) & 0 \ -1 & 0 & - (1 - \sqrt{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \sqrt{2} & 2 & -1 \ 0 & -3 + \sqrt{2} & 0 \ -1 & 0 & -1 + \sqrt{2} \end{pmatrix}
$$

Sistema:
$$
(1 + \sqrt{2})x + 2y - z = 0 \
(-3 + \sqrt{2})y = 0 \Rightarrow y = 0 \
- x + (\sqrt{2} -1)z = 0 \Rightarrow x = (\sqrt{2} -1) z
$$

Sustituyendo $$ y = 0 $$ y $$ x = (\sqrt{2} -1) z $$ en la primera ecuación:

$$
(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} -1) z - z = 0 \Rightarrow [(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} -1) -1] z = 0
$$

Calculando:

$$
(2 -1) -1 = 1 -1 = 0
$$

Autovector: $$\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} \sqrt{2} -1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$$

### 3. Base de autovectores:
$$
\left\{ 
\begin{pmatrix} 2 \ -\frac{7}{2} \ 1 \end{pmatrix}, \ 
\begin{pmatrix} -1 - \sqrt{2} \ 0 \ 1 \end{pmatrix}, \ 
\begin{pmatrix} \sqrt{2} -1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} 
\right\}
$$

---

Cada una de estas bases está compuesta por autovectores linealmente independientes correspondientes a distintos autovalores reales, lo que garantiza que las matrices son diagonalizables en el caso presentado.
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Hallar los autovalores reales autovectores de una base de au-
tovectores cuando sea posible, de las matrices:
a) , b) , c)

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a) , b) , c)