Soit $$ A B C $$ un triangle. 1) Construire les points $$ E, F, K $$ et $$ I $$ définis par : $$ E $$ est le barycentre de $$ \{(A, 2) ;(B,-5)\} $$ $$ F $$ est le barycentre de $$ \{(B, 1) ;(C, 2)\} $$ $$ K $$ est le barycentre de $$ \{(A, 1) ;(C, 5)\} $$ $$ I $$ milieu $$ [E F] $$ 2) a) Exprimer $$ \overrightarrow{E F} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{B A} $$ et $$ \overrightarrow{B C} $$. b) En déduire $$ \overrightarrow{B I} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{B A} $$ et $$ \overrightarrow{B C} $$. c) Exprimer $$ \overrightarrow{A C} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{B A} $$ et $$ \overrightarrow{B C} $$. d) Montrer que les droites $$ (B I) $$ et $$ (A C) $$ sont parallèles. 3) a) Exprimer $$ \overrightarrow{E K} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{B A} $$ et $$ \overrightarrow{B C} $$. b) Montrer que $$ E, F, K $$ sont alignés.

Question

Soit $$ A B C $$ un triangle. 1) Construire les points $$ E, F, K $$ et $$ I $$ définis par : $$ >E $$ est le barycentre de $$ \{(A, 2) ;(B,-5)\} $$ $$ >F $$ est le barycentre de $$ \{(B, 1) ;(C, 2)\} $$ $$ >K $$ est le barycentre de $$ \{(A, 1) ;(C, 5)\} $$ $$ >I $$ milieu $$ [E F] $$ 2) a) Exprimer $$ \overrightarrow{E F} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{B A} $$ et $$ \overrightarrow{B C} $$. b) En déduire $$ \overrightarrow{B I} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{B A} $$ et $$ \overrightarrow{B C} $$. c) Exprimer $$ \overrightarrow{A C} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{B A} $$ et $$ \overrightarrow{B C} $$. d) Montrer que les droites $$ (B I) $$ et $$ (A C) $$ sont parallèles. 3) a) Exprimer $$ \overrightarrow{E K} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{B A} $$ et $$ \overrightarrow{B C} $$. b) Montrer que $$ E, F, K $$ sont alignés.

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Résolvons le problème étape par étape en suivant les différentes parties demandées.

## Partie 1 : Construction des points $$ E, F, K $$ et $$ I $$

1. **Calcul du barycentre $$ E $$ de $$\{(A, 2); (B, -5)\}$$** :
   $$
   E = \frac{2A + (-5)B}{2 + (-5)} = \frac{2A - 5B}{-3} = \frac{5B - 2A}{3}
   $$

2. **Calcul du barycentre $$ F $$ de $$\{(B, 1); (C, 2)\}$$** :
   $$
   F = \frac{1B + 2C}{1 + 2} = \frac{B + 2C}{3}
   $$

3. **Calcul du barycentre $$ K $$ de $$\{(A, 1); (C, 5)\}$$** :
   $$
   K = \frac{1A + 5C}{1 + 5} = \frac{A + 5C}{6}
   $$

4. **Détermination du point $$ I $$, milieu de $$[EF]$$** :
   $$
   I = \frac{E + F}{2} = \frac{\frac{5B - 2A}{3} + \frac{B + 2C}{3}}{2} = \frac{6B - 2A + 2C}{6} = \frac{3B - A + C}{3}
   $$

## Partie 2

### 2.a) Exprimer $$ \overrightarrow{EF} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{BA} $$ et $$ \overrightarrow{BC} $$

Pour exprimer $$ \overrightarrow{EF} $$, nous calculons :

$$
\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{E}
$$

Exprimons $$ \overrightarrow{E} $$ et $$ \overrightarrow{F} $$ par rapport à $$ B $$ :

$$
\overrightarrow{BE} = E - B = \frac{5B - 2A}{3} - B = \frac{2B - 2A}{3} = \frac{2(B - A)}{3} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{BA}
$$

$$
\overrightarrow{BF} = F - B = \frac{B + 2C}{3} - B = \frac{-2B + 2C}{3} = \frac{2(C - B)}{3} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}
$$

Ainsi,

$$
\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BF} - \overrightarrow{BE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} - \left(-\frac{2}{3} \overrightarrow{BA}\right) = \frac{2}{3} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})
$$

### 2.b) Déduire $$ \overrightarrow{BI} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{BA} $$ et $$ \overrightarrow{BC} $$

Le point $$ I $$ est le milieu de $$[EF]$$, donc :

$$
\overrightarrow{BI} = \frac{\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{BF}}{2} = \frac{-\frac{2}{3} \overrightarrow{BA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}}{2} = \frac{-\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}}{3}
$$

### 2.c) Exprimer $$ \overrightarrow{AC} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{BA} $$ et $$ \overrightarrow{BC} $$

Le vecteur $$ \overrightarrow{AC} $$ est donné par :

$$
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) - (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}
$$

### 2.d) Montrer que les droites $$ (B I) $$ et $$ (A C) $$ sont parallèles

Comparons les vecteurs $$ \overrightarrow{BI} $$ et $$ \overrightarrow{AC} $$ :

$$
\overrightarrow{BI} = \frac{-\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}}{3} = \frac{\overrightarrow{AC}}{3}
$$

Puisque $$ \overrightarrow{BI} $$ est colinéaire à $$ \overrightarrow{AC} $$ (car $$ \overrightarrow{BI} $$ est un multiple de $$ \overrightarrow{AC} $$), les droites $$ (B I) $$ et $$ (A C) $$ sont parallèles.

## Partie 3

### 3.a) Exprimer $$ \overrightarrow{E K} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{BA} $$ et $$ \overrightarrow{BC} $$

Calculons le vecteur $$ \overrightarrow{E K} $$ :

$$
\overrightarrow{E K} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{E}
$$

En substituant les expressions de $$ E $$ et $$ K $$ :

$$
\overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{A} + 5\overrightarrow{C}}{6}
$$
$$
\overrightarrow{E} = \frac{5\overrightarrow{B} - 2\overrightarrow{A}}{3}
$$

Donc,

$$
\overrightarrow{E K} = \frac{\overrightarrow{A} + 5\overrightarrow{C}}{6} - \frac{5\overrightarrow{B} - 2\overrightarrow{A}}{3} = \frac{\overrightarrow{A} + 5\overrightarrow{C} - 10\overrightarrow{B} + 4\overrightarrow{A}}{6} = \frac{5\overrightarrow{A} + 5\overrightarrow{C} - 10\overrightarrow{B}}{6}
$$

Factorisons par 5 :

$$
\overrightarrow{E K} = \frac{5(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{B})}{6}
$$

Exprimons $$ \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{B} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{BA} $$ et $$ \overrightarrow{BC} $$ :

$$
\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{B} = (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}
$$

Ainsi,

$$
\overrightarrow{E K} = \frac{5(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})}{6}
$$

### 3.b) Montrer que $$ E, F, K $$ sont alignés

Pour démontrer que $$ E, F, K $$ sont alignés, il suffit de montrer que les vecteurs $$ \overrightarrow{EF} $$ et $$ \overrightarrow{E K} $$ sont colinéaires.

Nous avons déjà :

$$
\overrightarrow{EF} = \frac{2}{3} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})
$$
$$
\overrightarrow{E K} = \frac{5}{6} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})
$$

Il est clair que :

$$
\overrightarrow{E K} = \frac{5}{4} \overrightarrow{EF}
$$

Puisque $$ \overrightarrow{E K} $$ est un multiple scalaire de $$ \overrightarrow{EF} $$, les points $$ E, F, K $$ sont alignés.

## Conclusion

Nous avons ainsi démontré, étape par étape, les différentes propriétés demandées concernant les points $$ E, F, K $$ et $$ I $$ dans le triangle $$ ABC $$. Notamment, nous avons montré que les vecteurs associés permettent d'exprimer $$ \overrightarrow{EF} $$, $$ \overrightarrow{BI} $$ et $$ \overrightarrow{AC} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{BA} $$ et $$ \overrightarrow{BC} $$, et que les droites $$ (B I) $$ et $$ (A C) $$ sont parallèles. De plus, les points $$ E, F, K $$ sont alignés.
Voici la simplification des réponses pour chaque partie du problème : 1. **Construction des points $$ E, F, K $$ et $$ I $$ :** - $$ E = \frac{5B - 2A}{3} $$ - $$ F = \frac{B + 2C}{3} $$ - $$ K = \frac{A + 5C}{6} $$ - $$ I = \frac{3B - A + C}{3} $$ 2. **Calculs des vecteurs :** - $$ \overrightarrow{EF} = \frac{2}{3} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) $$ - $$ \overrightarrow{BI} = \frac{-\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}}{3} $$ - $$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} $$ 3. **Parallélisme des droites $$ (B I) $$ et $$ (A C) $$ :** - Les droites sont parallèles car $$ \overrightarrow{BI} = \frac{5}{4} \overrightarrow{EF} $$. 4. **Alignement des points $$ E, F, K $$ :** - Les points sont alignés car $$ \overrightarrow{E K} = \frac{5}{6} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) $$ et $$ \overrightarrow{EF} = \frac{2}{3} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) $$, faisant de $$ \overrightarrow{E K} $$ un multiple de $$ \overrightarrow{EF} $$. **Conclusion :** Les points $$ E, F, K $$ et $$ I $$ sont correctement construits et les relations vectorielles démontrées montrent que $$ (B I) $$ et $$ (A C) $$ sont parallèles, et que $$ E, F, K $$ sont alignés.

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