Question
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En un centro médico se disponen de tres equipos electrónicos para realizar mamografias, el primer equipo realiza el \( 25 \% \) de los exdmenes, el segundo el \( 35 \% \) y el tercero un \( 40 \% \). Los equipos tienen una probabilidad de error de \( 1 \% \), \( 2 \% \) y \( 3 \% \), respectivamente. Si el resultado de un examen de un paciente tiene error, ccuál es ta probabilidad que el primer equipo haya realizado el examen?

Ask by Medina Parry. in Chile
Jan 23,2025

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Answer

La probabilidad de que el primer equipo haya realizado el examen dado que hubo un error es aproximadamente un 11,6%.

Solution

Para resolver este problema, utilizamos el **Teorema de Bayes**. Queremos encontrar la probabilidad de que el **primer equipo** haya realizado el examen dado que el resultado tuvo un error, es decir, \( P(\text{Primer Equipo} \mid \text{Error}) \). Definimos los eventos: - \( A_1 \): El examen es realizado por el primer equipo. - \( A_2 \): El examen es realizado por el segundo equipo. - \( A_3 \): El examen es realizado por el tercer equipo. - \( E \): El examen tiene un error. Según los datos proporcionados: - \( P(A_1) = 0.25 \) - \( P(A_2) = 0.35 \) - \( P(A_3) = 0.40 \) - \( P(E \mid A_1) = 0.01 \) - \( P(E \mid A_2) = 0.02 \) - \( P(E \mid A_3) = 0.03 \) Aplicamos el Teorema de Bayes: \[ P(A_1 \mid E) = \frac{P(E \mid A_1) \cdot P(A_1)}{P(E)} \] Primero, calculamos \( P(E) \), la probabilidad total de que ocurra un error: \[ P(E) = P(E \mid A_1) \cdot P(A_1) + P(E \mid A_2) \cdot P(A_2) + P(E \mid A_3) \cdot P(A_3) \] Sustituyendo los valores: \[ P(E) = (0.01 \cdot 0.25) + (0.02 \cdot 0.35) + (0.03 \cdot 0.40) = 0.0025 + 0.007 + 0.012 = 0.0215 \] Ahora, aplicamos el Teorema de Bayes: \[ P(A_1 \mid E) = \frac{0.01 \cdot 0.25}{0.0215} \approx \frac{0.0025}{0.0215} \approx 0.1163 \] Por lo tanto, la probabilidad es aproximadamente **11.63%**. **Respuesta final:** La probabilidad es aproximadamente un 11,6 %.

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The Deep Dive

Para resolver este problema, se puede utilizar el teorema de Bayes. Primero, calculemos la probabilidad total de que un examen tenga un error (\(P(E)\)). Utilizando las proporciones y las probabilidades de error de cada equipo, tenemos: \[ P(E) = P(E|A)P(A) + P(E|B)P(B) + P(E|C)P(C) \] Donde: - \(P(A) = 0.25\) (probabilidad de que el primer equipo haya realizado el examen) - \(P(B) = 0.35\) - \(P(C) = 0.40\) Las probabilidades de error correspondiente son: - \(P(E|A) = 0.01\) - \(P(E|B) = 0.02\) - \(P(E|C) = 0.03\) Así que computamos: \[ P(E) = (0.01)(0.25) + (0.02)(0.35) + (0.03)(0.40) = 0.0025 + 0.007 + 0.012 = 0.0215 \] Ahora, para encontrar la probabilidad de que el primer equipo haya realizado el examen dado que hubo un error, aplicamos el teorema de Bayes: \[ P(A|E) = \frac{P(E|A)P(A)}{P(E)} = \frac{(0.01)(0.25)}{0.0215} \approx 0.1163 \] Entonces, la probabilidad de que el primer equipo haya realizado el examen dado que hubo un error es aproximadamente \(11.63\% \).

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