a. $$ f(x)=\left(2 x^{2}+1\right)^{3} $$ b. $$ f(x)=\sqrt[4]{x^{3}} $$ c. $$ f(x)=\frac{2}{\sqrt{X^{5}}} $$ d. $$ f(x)=x^{3 / 2} $$

Question

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Claro, a continuación se analiza cada una de las funciones proporcionadas, detallando su dominio:

### a. $$ f(x) = (2x^{2} + 1)^{3} $$

**Dominio:**  
La función es un polinomio elevado a una potencia entera. Los polinomios están definidos para todos los números reales.

$$
\text{Dominio: } \mathbb{R}
$$

### b. $$ f(x) = \sqrt[4]{x^{3}} $$

**Dominio:**  
Para que la raíz cuarta esté definida en los números reales, el radicando $$ x^{3} $$ debe ser no negativo.

$$
x^{3} \geq 0 \implies x \geq 0
$$

$$
\text{Dominio: } x \geq 0
$$

### c. $$ f(x) = \frac{2}{\sqrt{x^{5}}} $$

**Dominio:**  
El denominador contiene una raíz cuadrada, la cual requiere que $$ x^{5} $$ sea positivo (no puede ser cero ya que está en el denominador).

$$
x^{5} > 0 \implies x > 0
$$

$$
\text{Dominio: } x > 0
$$

### d. $$ f(x) = x^{3/2} $$

**Dominio:**  
La expresión $$ x^{3/2} $$ puede interpretarse como $$ \sqrt{x^{3}} $$ o $$ (\sqrt{x})^{3} $$. En ambos casos, se requiere que $$ x $$ sea no negativo.

$$
x \geq 0
$$

$$
\text{Dominio: } x \geq 0
$$

---

**Resumen de los dominios:**

a. $$ \mathbb{R} $$  
b. $$ x \geq 0 $$  
c. $$ x > 0 $$  
d. $$ x \geq 0 $$

Si necesitas un análisis adicional de estas funciones, como su derivada, gráfica o rango, no dudes en indicarlo.
a. $$ f(x) = (2x^{2} + 1)^{3} $$ está definida para todos los números reales. b. $$ f(x) = \sqrt[4]{x^{3}} $$ está definida para $$ x \geq 0 $$. c. $$ f(x) = \frac{2}{\sqrt{x^{5}}} $$ está definida para $$ x > 0 $$. d. $$ f(x) = x^{3/2} $$ está definida para $$ x \geq 0 $$. Resumen de dominios: a. Todos los números reales b. $$ x \geq 0 $$ c. $$ x > 0 $$ d. $$ x \geq 0 $$

a.
b.
c.
d.

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a.

b.

c.

d.

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