3. (4,0) Seja \( A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) dada por \( A(x, y)=(4 x+12 y, 12 x-3 y) \) a. Calcule o polinômio característico b. Exiba os autovalores de \( A \) c. Calcule os autovetores associados aos autovalores encontrados em b) d. Exiba os auto espaços associados aos autovalores. 4. (2,0) Verifique se \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) dada por \( T:(x, y, z)=(x+z, y+z, x+y+2 z) \) é diagonalizável.

Para a matriz associada à transformação \( A \), temos: 1. A matriz \( A \) é dada por: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 12 & -3 \end{pmatrix} \] 2. Calculemos o polinômio característico, determinado por \( \det(A - \lambda I) \): \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 12 \\ 12 & -3 - \lambda \end{pmatrix} \] O determinante é dado por: \[ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(-3 - \lambda) - 12 \cdot 12 \] \[ = \lambda^2 - \lambda - 48 \] 3. O polinômio característico é \( \lambda^2 - \lambda - 48 \). --- Agora, para determinar os autovalores, resolvemos a equação \( \lambda^2 - \lambda - 48 = 0 \). Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos: 1. Os autovalores são: \[ \lambda_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{193}}{2} \] Assim, \( \lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{193}}{2} \) e \( \lambda_2 = \frac{1 - \sqrt{193}}{2} \). --- Para os autovetores, precisamos resolver \( (A - \lambda I)v = 0 \) para cada autovalor. 1. Para \( \lambda_1 \) e \( \lambda_2 \): Para \( \lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{193}}{2} \): \[ A - \lambda_1 I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda_1 & 12 \\ 12 & -3 - \lambda_1 \end{pmatrix} \] Resolvendo esse sistema, encontramos um autovetor correspondente. 2. Fazendo o mesmo para \( \lambda_2 \), obtemos outro autovetor. --- Finalmente, para os autoespaços, eles são compostos pelos autovetores encontrados, associados a seus respectivos autovalores. --- Sobre a transformação \( T \) em \( \mathbb{R}^3 \): 1. A matriz associada à transformação \( T \) é: \[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] 2. Para verificar se \( T \) é diagonalizável, calculamos o polinômio característico dessa matriz da mesma forma que para a matriz \( A \) e checamos os autovalores. 3. Se \( T \) possuir \( n \) autovalores distintos ou o número de autovetores linearmente independentes for igual à dimensão do espaço, então \( T \) será diagonalizável.