Determina il valore del parametro \( k \) affinché la retta di equazione \( x=k \) incontri la circonferenza di equazione \( x^{2}+y^{2}+4 x-6 y-7=0 \) in due punti \( A \) e \( B \) tali che \( \overline{A B}=4 \).

Per trovare il valore del parametro \( k \) affinché la retta \( x=k \) intersechi la circonferenza nell'equazione data in due punti \( A \) e \( B \) tali che \( \overline{AB} = 4 \), dobbiamo seguire alcuni passaggi. Prima, scriviamo l'equazione della circonferenza in forma canonica. Partendo dall'equazione: \[ x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 7 = 0 \] completiamo il quadrato. Per \( x \): \[ x^{2} + 4x = (x+2)^{2} - 4 \] Per \( y \): \[ y^{2} - 6y = (y-3)^{2} - 9 \] Riscrivendo l'equazione: \[ (x+2)^{2} - 4 + (y-3)^{2} - 9 - 7 = 0 \] Questo diventa: \[ (x+2)^{2} + (y-3)^{2} = 20 \] Dunque, la circonferenza ha centro \((-2, 3)\) e raggio \( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \). Ora, per trovare i punti di intersezione con la retta \( x=k \), sostituiamo \( x=k \) nell'equazione della circonferenza: \[ (k+2)^{2} + (y-3)^{2} = 20 \] Questo diventa: \[ (y-3)^{2} = 20 - (k+2)^{2} \] Affinché ci siano due soluzioni reali per \( y \), l'argomento della radice quadrata deve essere positivo: \[ 20 - (k+2)^{2} > 0 \quad \Rightarrow \quad 20 > (k+2)^{2} \] Da questo, possiamo ottenere due condizioni: \[ -\sqrt{20} < k + 2 < \sqrt{20} \] Cioè: \[ -2\sqrt{5} - 2 < k < 2\sqrt{5} - 2 \] Per quanto riguarda la distanza tra i punti \( A \) e \( B \), sappiamo che la distanza verticale tra \( y \) nei due punti sarà dato da: \[ \overline{AB} = 2\sqrt{20 - (k+2)^{2}} = 4 \] Risolvendo: \[ \sqrt{20 - (k+2)^{2}} = 2 \quad \Rightarrow \quad 20 - (k+2)^{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad (k+2)^{2} = 16 \] Da qui otteniamo due valori per \( k + 2 \): \[ k + 2 = 4 \quad \text{oppure} \quad k + 2 = -4 \] Quindi: 1. \( k + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad k = 2 \) 2. \( k + 2 = -4 \quad \Rightarrow \quad k = -6 \) Pertanto, i due valori per \( k \) affinché la retta incontra la circonferenza nei punti \( A \) e \( B \) con \( \overline{AB} = 4 \) sono \( k = 2 \) e \( k = -6 \).