9. \( g(x)=\sin \left(x^{2}+1\right) \)

Claro, analicemos la función \( g(x) = \sin\left(x^{2} + 1\right) \). ### 1. Dominio La función seno está definida para todos los números reales. Además, el argumento \( x^{2} + 1 \) también está definido para todo \( x \) real. Por lo tanto, el dominio de \( g(x) \) es: \[ \text{Dominio de } g(x): \quad \mathbb{R} \quad (\text{todos los reales}) \] ### 2. Rango La función seno oscila entre -1 y 1 para cualquier argumento real. Por lo tanto, el rango de \( g(x) \) es: \[ \text{Rango de } g(x): \quad [-1, 1] \] ### 3. Derivada Para encontrar la derivada de \( g(x) \), utilizamos la regla de la cadena. Sea \( u(x) = x^{2} + 1 \), entonces: \[ g(x) = \sin(u) \] La derivada de \( g \) respecto a \( x \) es: \[ g'(x) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} = \cos\left(x^{2} + 1\right) \cdot 2x = 2x \cos\left(x^{2} + 1\right) \] ### 4. Comportamiento y Gráfica La función \( g(x) = \sin\left(x^{2} + 1\right) \) combina una función polinómica dentro del seno. A medida que \( |x| \) aumenta, \( x^{2} + 1 \) también aumenta rápidamente, lo que resulta en una oscilación más acelerada de la función seno. **Características principales:** - **Periodicidad:** No es periódica debido al término \( x^{2} \) que hace que el argumento de la función seno no repita intervalos fijos. - **Simetría:** La función es par, ya que reemplazar \( x \) por \( -x \) no cambia el valor de la función: \[ g(-x) = \sin\left{((-x)^{2} + 1\right)} = \sin\left(x^{2} + 1\right) = g(x) \] ### 5. Puntos Críticos Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: \[ 2x \cos\left(x^{2} + 1\right) = 0 \] Esto ocurre cuando: - \( 2x = 0 \) ⟹ \( x = 0 \) - \( \cos\left(x^{2} + 1\right) = 0 \) ⟹ \( x^{2} + 1 = \frac{\pi}{2} + k\pi \), donde \( k \) es un entero. ### 6. Aplicaciones Funciones como \( g(x) = \sin\left(x^{2} + 1\right) \) aparecen en diversas áreas de la física y la ingeniería, especialmente en contextos que involucran oscilaciones no lineales y fenómenos de ondas con frecuencias que dependen de la posición. Si tienes alguna pregunta específica sobre esta función o necesitas más detalles, ¡no dudes en preguntar!