Résous dans \( \mathbb{R} \) l'inéquation suivante \( \frac{x^{2}-x-20}{3 x^{2}-20 x-7}<0 \)

Pour résoudre l'inéquation \( \frac{x^{2}-x-20}{3 x^{2}-20 x-7}<0 \), nous devons d'abord identifier les zéros du numérateur et du dénominateur. Le numérateur \( x^{2}-x-20 \) se factorise en \( (x-5)(x+4) \). Ainsi, les racines sont \( x = 5 \) et \( x = -4 \). Pour le dénominateur \( 3x^{2}-20x-7 \), nous utilisons la formule quadratique \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), où \( a = 3, b = -20, c = -7 \). Calculons le discriminant : \( D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 400 + 84 = 484 \), qui est positif. Donc, il y a deux racines réelles. Nous trouvons ces racines : \( x = \frac{20 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{20 \pm 22}{6} \). Ainsi, les racines sont \( x_1 = \frac{42}{6} = 7 \) et \( x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \). Nous avons maintenant quatre points critiques : \( x = -4, -\frac{1}{3}, 5, 7 \). Nous allons tester les signes de l'expression dans les intervalles déterminés par ces points. 1. Pour \( x < -4 \) (ex: \( x = -5 \)): \( \frac{(+)(-)}{(-)} > 0 \) 2. Pour \( -4 < x < -\frac{1}{3} \): (ex: \( x = -1 \)): \( \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 \) 3. Pour \( -\frac{1}{3} < x < 5 \): (ex: \( x = 0 \)): \( \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 \) 4. Pour \( 5 < x < 7 \): (ex: \( x = 6 \)): \( \frac{(+)(-)}{(+)} < 0 \) 5. Pour \( x > 7 \): (ex: \( x = 8 \)): \( \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 \) Nous cherchons où l'expression est négative : cela se produit pour les intervalles \( (-4, -\frac{1}{3}) \), \( (-\frac{1}{3}, 5) \) et \( (5, 7) \). Les points critiques ne figurent pas dans l'ensemble de solutions car ils rendent l'expression nulle ou indéfinie. La solution en \( \mathbb{R} \) est donc : \[ (-4, -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}, 5) \cup (5, 7) \]