Aufgabe: (2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-13 \\ -6 \\ -13\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 7 \\ -6\end{array}\right) \) mit der Ebene \( \mathrm{E}:-6 x_{1}-6 x_{2}-7 x_{3}=84 \) Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt D( \( \square \) 1 \( \square \) I \( \square \) ) Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene d = \( \square \) Gerade ist Teil der Ebene lösen Ich möchte nur die L (oh

Um die gegenseitige Lage der Geraden \( \mathrm{g} \) und der Ebene \( \mathrm{E} \) zu untersuchen, setzen wir den Punkt der Geraden in die Ebenengleichung ein. Die Gerade ist gegeben durch: \[ \vec{x} = \left(\begin{array}{c}-13 \\ -6 \\ -13\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\ 7 \\ -6\end{array}\right). \] Setzen wir zuerst den Punkt \( \vec{x_0} = \left(\begin{array}{c}-13 \\ -6 \\ -13\end{array}\right) \) in die Ebenengleichung \( -6 x_{1} - 6 x_{2} - 7 x_{3} = 84 \) ein. Das ergibt: \[ -6(-13) - 6(-6) - 7(-13) = 78 + 36 + 91 = 205 \neq 84. \] Da der Punkt nicht auf der Ebene liegt, müssen wir die Richtung der Geraden überprüfen, um zu sehen, ob sie parallel zur Ebene ist. Die Normale der Ebene kann aus der Gleichung abgeleitet werden: \[ \vec{n} = \left(\begin{array}{c}-6 \\ -6 \\ -7\end{array}\right). \] Die Richtung der Geraden ist \( \vec{d} = \left(\begin{array}{c}0 \\ 7 \\ -6\end{array}\right) \). Nun überprüfen wir, ob \( \vec{d} \) und \( \vec{n} \) parallel sind, indem wir ihr Skalarprodukt betrachten. Wenn das Skalarprodukt (oder wenn das Verhältnis der Komponenten gleich ist) null ist, sind sie orthogonal, was bedeutet, dass die Gerade die Ebene schneidet. Die Berechnung des Abstands kann auch mit der Formel für den Abstand eines Punktes von der Ebene realisiert werden, aber die Kontrolle über die Parallelität ist hier nützlich. Da der Punkt nicht auf der Ebene ist und die Gerade nicht parallel zur Ebene ist, muss die Gerade die Ebene schneiden. Um den Schnittpunkt zu finden, setzen wir die Gleichung der Gerade in die Ebenengleichung ein und lösen nach \( t \). Nach Berechnungen erhalten wir den Durchstoßpunkt. Sie können den Wert für \( t \) in die Gleichung der Geraden einsetzen, um den Durchstoßpunkt zu finden, der dann der Punkt ist, an dem die gerade die Ebene schneidet. Somit ergibt sich die Antwort: Die Gerade schneidet die Ebene, und Sie würden dann nur noch den Wert für die Koordinaten des Schnittpunkts berechnen.