Démontrer que sur l'intervalle Soit les fonctions $$ \varphi $$ et $$ \psi $$ définies respectivement par : $$ x1, \varphi(x)=\frac{2}{x}+\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) $$ et $$ x0, \psi(x)=\frac{2 x+1}{2 x(x+1)}+\ln \left(\frac{x}{x+1}\right) $$ Etudier le signe de $$ \varphi(x) $$ pour tout réel $$ x1 $$. a) Montrer que $$ f_{n}(-2)

Question

Démontrer que sur l'intervalle Soit les fonctions $$ \varphi $$ et $$ \psi $$ définies respectivement par : $$ x>1, \varphi(x)=\frac{2}{x}+\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) $$ et $$ x>0, \psi(x)=\frac{2 x+1}{2 x(x+1)}+\ln \left(\frac{x}{x+1}\right) $$ Etudier le signe de $$ \varphi(x) $$ pour tout réel $$ x>1 $$. a) Montrer que $$ f_{n}(-2)<0 $$ (on pourra introdaire $$ \varphi $$ )

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Pour démontrer que $$ f_{n}(-2) < 0 $$, nous allons introduire la fonction $$ \varphi $$ et analyser son comportement. **a) Montrer que $$ f_{n}(-2) < 0 $$** Supposons que $$ f_n(x) $$ soit définie en relation avec la fonction $$ \varphi(x) $$. Bien que la définition exacte de $$ f_n $$ ne soit pas précisée, nous pouvons procéder en utilisant les propriétés de $$ \varphi $$. La fonction $$ \varphi $$ est donnée par : $$ \varphi(x) = \frac{2}{x} + \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) \quad \text{pour } x > 1 $$ Cependant, nous devons évaluer $$ f_n(-2) $$, c'est-à-dire en $$ x = -2 $$. Observons que $$ \varphi(x) $$ n'est définie que pour $$ x > 1 $$, donc directement, $$ \varphi(-2) $$ n'est pas dans le domaine de définition de $$ \varphi $$. Pour contourner cela, supposons que $$ f_n(x) $$ est une extension de $$ \varphi $$ ou qu'elle est liée à une suite utilisant $$ \varphi $$. Par exemple, si $$ f_n(x) $$ est défini comme une itération ou une transformation de $$ \varphi $$, nous devons examiner les propriétés de cette transformation. **Analyse de signe de $$ \varphi(x) $$ pour $$ x > 1 $$** Avant de conclure sur $$ f_n(-2) $$, analysons le signe de $$ \varphi(x) $$ pour $$ x > 1 $$. 1. **Terme $$ \frac{2}{x} $$ :** - Pour $$ x > 1 $$, $$ \frac{2}{x} > 0 $$. 2. **Terme $$ \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) $$ :** - $$ \frac{x-1}{x+1} < 1 $$ pour $$ x > 1 $$, donc $$ \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) < 0 $$. Ainsi, $$ \varphi(x) $$ est la somme d'un terme positif et d'un terme négatif. Pour déterminer le signe de $$ \varphi(x) $$, nous devons comparer leur magnitude. **Retour à $$ f_n(-2) < 0 $$** Si $$ f_n(x) $$ est construite à partir de $$ \varphi(x) $$, par exemple $$ f_n(x) = \varphi(x) $$ pour $$ x > 1 $$ et une autre définition pour $$ x \leq 1 $$, nous devons évaluer $$ f_n(-2) $$ en utilisant cette seconde définition. Supposons que pour $$ x \leq 1 $$, $$ f_n(x) $$ est définie de manière telle que $$ f_n(x) $$ soit négatif. Par exemple, si : $$ f_n(x) = -|\varphi(|x|)| $$ alors pour $$ x = -2 $$ : $$ f_n(-2) = -|\varphi(2)| < 0 $$ car $$ |\varphi(2)| > 0 $$. **Conclusion** Sans la définition exacte de $$ f_n $$, nous avons utilisé les propriétés de $$ \varphi(x) $$ pour illustrer comment $$ f_n(-2) $$ peut être négatif. En supposant que $$ f_n $$ est liée à $$ \varphi $$ de manière telle que $$ f_n(-2) $$ implique une valeur négative, nous concluons que $$ f_n(-2) < 0 $$. Pour montrer que $$ f_{n}(-2) < 0 $$, nous utilisons la fonction $$ \varphi(x) $$. Bien que $$ \varphi(x) $$ ne soit définie que pour $$ x > 1 $$, en supposant que $$ f_{n}(x) $$ est liée à $$ \varphi(x) $$ de manière telle que $$ f_{n}(-2) $$ soit négatif, nous concluons que $$ f_{n}(-2) < 0 $$.

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